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钢管切割问题

1、某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂

进货时所得到的钢管都是19M。

（1）现有一客户需要50根4M，20根6M和15根8M的钢管，应如何下料最

节省？

（2）零售商如果采用不同的切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增

加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同的切割模式不能超过3种。此

外该客户需要（1）种的三种钢管外，还需要10根5M的钢管，该如何下料最节

省？

问题分析

对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要

求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将19m的钢管切

割成3根长4m的钢管，余料为7m；或者将长19m的钢管切割成长4m、6m

和8m的钢管各1根，余料为1m。显然，可行的切割模式是很多的。

其次，应当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式通常还假设余料不应大

于或等于客户需要钢管的最小尺寸。例如，将长19m的钢管切割成3根4m的

钢管是可行的，但余料为7m，可进一步将7m的余料切割成4m钢管（余料为

3m），或者将7m的余料切割成6m钢管（余料为1m）。经过简单的计算可知，

问题1）的合理切割模式一共有7种，如表3所示：

于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割

多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总

余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。

模型

问题1）用xi表示按照表3第i种模式（i=1,2,…,7）切割的原料钢管的根数，

若以切割后剩余的总余料量最小为目标，则按照表3最后一列可得

minZ1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7(1)

若以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

表3钢管下料问题1）的合理切割模式

模式4m钢管根数6m钢管根数8m钢管根数余料/m

14003

23101

32013

41203

51111

60301

70022

MinZ2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7(2)

约束条件为客户的需求，按照表3应有

4x1+3x2+2x3+x4+x5≥50(3)

x2+2x4+x5+3x6≥20(4)

x3+x5+2x7≥15(5)

最后，切割的原料钢管的根数xi显然应当是非负整数（用Z表示整数集合，Z+

表示非负整数集合）：

xi∈Z+，i=1,2,…,7(6)

于是，问题1）归结为在约束条件（3）～（6）下，使目标（1）或目标（2）达

到最小。显然这是线性整数规划模型。

问题2）如果按照问题1）的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些切割模式

是合理的，并从中选出不超过3种模式。而由于需求的钢管规格增加到4种，

所以枚举法的工作量较大。下面介绍一种带有普遍性的方法，可以同时确定切割

模式和切割数量。

同问题1）一样，只使用合理的切割模式，其余料不应大于3m（因为客户需要

的钢管最小尺寸为4m，而本题中参数都是整数）。

由于不同切割模式不能超过3种，可以用用xi表示按照第i种模式（i=1,2,3）切

割的原料钢管的根数。又设使用第i种切割模式下每根原料钢管生产长4m、5m、

6m和8m的钢管数量分别为r1i，r2i，r3i，r4i。

仅以使用的原料总根数最少为目标，即

Minx1+x2+x3(7)

满足客户需求的约束条件为

r11x1+r12x2+r13x3≥50