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培优课数列求和的常用方法
非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两种思想
1.转化思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成;
2.不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
类型一公式法
例1设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N*.
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)已知{bn}是等差数列,Tn为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.
解(1)由题设知{an}是首项为1,公比为3的等比数列,
所以an=3n-1,Sn=eq\f(1-3n,1-3)=eq\f(1,2)(3n-1).
(2)b1=a2=3,b3=a1+a2+a3=1+3+9=13,d=eq\f(b3-b1,2)=eq\f(10,2)=5(d为公差),所以数列{bn}的公差为5,
故T20=20×3+eq\f(20×19,2)×5=1010.
类型二倒序相加法
例2设f(x)=eq\f(4x,4x+2),若S=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))+…+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024))),则S=________.
答案eq\f(2023,2)
解析∵f(x)=eq\f(4x,4x+2),∴f(1-x)=eq\f(41-x,41-x+2)=eq\f(2,2+4x).
∴f(x)+f(1-x)=eq\f(4x,4x+2)+eq\f(2,2+4x)=1.
S=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))+…+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024))),①
S=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2024)))+…+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024))),②
①+②,得2S=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))+f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))))+
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))+f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2024)))))+…+
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))+f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))))=2023,
∴S=eq\f(2023,2).
例3已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1011,2).数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=f(n),n∈N*.求S2021.
解由条件得f(2×1011-x)+f(x)=2×2,
即f(2022-x)+f(x)=4.
于是有a2022-n+an=4(n∈N*).
又S2021=a1+a2+a3+…+a2020+a2021,
S2021=a2021+a2020+…+a2+a1.
两式相加得
2S2021=(a1+a2021)+(a2+a2020)+…+(a2020+a2)+(a2021+a1)=2021(a1+a2021)=2021×4.
故S2021=2021×2=4042.
类型三并项法求和
例4已知数列an=(-1)nn,求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和Sn.
解法一若n是偶数,则Sn=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+[-(n-1)+n]=eq\f(n,2).
若n是奇数,则Sn=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+(-n)=eq\f(n-1,2)-n
=-eq\f(n+1,2).
综上所述,Sn=eq\b\lc\{(\a\
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