参数曲面的切平面和法矢量ComputerGraphics.pptxVIP

ComputerGraphics第十章 Bezier曲线曲面

CCoommppuutteeGGrraapphhiiccrsBezier曲线曲面操作实例点击右面图标可以自己操作

ComputerGraphics综述曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有·Bézier曲线曲面·B样条曲线曲面·孔斯曲面P0P1P2P3

ComputerGraphics优点1曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选择2人机交互直观易于计算易于拼接造型灵活等·本章讨论Bézier曲线曲面的重要性质和生成算法。P0P1P2P2P1P0 x（b）原图三点绕原点逆转45度后过三点的参数二次多项式图形xyy（a）过图示三点的参数二次多项式图形

ComputerGraphics10.1 曲线曲面的基础知识曲线、曲面的表示形式 参数表示：非参数表示：（在CGCAGD角度看，好一些）显示表示隐式表示曲线和曲面的基础知识位置矢量、切矢量、法矢量、法平面、曲率以及连续性等

ComputerGraphics10.1.1 曲线的表示·1.显式表示一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数平面曲线显式表示的一般形式是一条直线方程每一个x值只对应一个y值用显式方程不能表示封闭或多值曲线

ComputerGraphics2 隐式表示平面曲线隐式表示的—般形式：例如，二次隐式方程的—般形式可写成(10.1)该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。三维空间曲线的隐式表示式为交面式:(10.2)曲线的非参数表示存在的问题是：①与坐标系相关；②会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)；③非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示，例如式（10.2）；10.1.1 曲线的表示

ComputerGraphics3 参数表示曲线的参数表示是指将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数的函数形式。若取参数为，则曲线的参数表示为， (10.3)其中 ， 和 分别为的显式函数，即每一个对应空间一个点通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不同的量，如时间、角度等。连接 和 两点的直线段的参数方程可写为10.1.1 曲线的表示

ComputerGraphics3 参数表示一条参数曲线的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限内的单位圆弧可表示成其中：取角度θ为参数时，x和y的关系如图10.1(a)所示；取t为参数时，x和y的关系如图10.1(b)所示，其中θ和t为等距取值。图10.1 第一象限内单位圆弧的表示形式y(a)1.0xy(b)1.0x0 010.1.1 曲线的表示

ComputerGraphics参数表示的优越性 ①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变性； ②在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷大的情况； ③对参数表示的曲线、曲面进行平移、放缩和旋转等几何变换比较容易； ④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数表示式中系数的几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。

ComputerGraphics10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率·在三维空间中，曲线的参数方程为1.位置矢量曲线上任一点的位置矢量可表示为2.切矢量图10.2参数曲线的切矢△PP(t)P′(t)P(t+△t)yxz设 和 是曲线上的两点，记 ，如图10.2所示。当时，导数矢量 的方向趋近于P点处的切线方向，记为 。称 为在处的导矢，或切矢量。设 表示 到 的弧长，由于弦长即和弧长 的极限相同，(10.4)则(10.5)T称为处切线方向的单位矢量。上式说明，如果以弧长为参数，曲线在任意点的切矢量为单位矢量。

ComputerGraphics3.弧长对于正则曲线（），从点 到点 的弧长定义为其中 是切矢量 的长度。式的折线长度的极限。记 为 ，增可看作是曲线从 到为 ，在曲线从 到 之间沿着递的方向，取n－1个点 ，把相邻点用直线段连接起来，得到曲线的折线，它的长度为 ，当 时， 。10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率

ComputerGraphics4.曲率设以弧长s为参数，曲线上的点 和点 处的单位切矢量分别为 和 ，记两切矢的夹角为 ， ,如图10.3所示。对于空间曲线，这两个切矢量通常不在同一平面上。记为曲线从点 到点 的长度(弧长)，通常用 与 之比的绝对值 来度量曲线由 到的弯曲程度。当 时，曲线在点 处的曲率 定义为当 时， 称为曲线在 点的曲率半径。T(s+△s)P(s+△s)P(s)T(s)△ΦT(s+△s)图10.3参数曲线的曲率△s△h△TT(s)10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率

ComputerGraphics由于 和