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勾股定理的有关证明及全等构造专题练习

专题一用勾股定理证明线段的平方关系

典例精讲

题型一直接运用直角三角形探究线段间的平方关系

【例1】如图,在锐角△ABC中,.∠ABC=45°,,过点A作.AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥ACBE⊥AC于点E,AD,BE

题型二构全等转换边,探究线段间的平方关系

【例2】如图,在等边△ABC中,P为AB上任意一点,以CP为边作等边,△CPQ,,试问:线段AP,BP和线段PQ之间有何等量关系?

题型三旋转法探究线段间的平方关系

【例3】在△ABC中,

(1)如图1,若点P是BC边上的一点,则BP2+PC2与AP2的数量关系是;

(2)如图2,若点P是BC延长线上的一点,则BP2+PC2与AP2

从(1),(2)中任选一个结论证明.

针对训练

1.如图,在△ABC中,∠C=90°,,点M是AC的中点,MP⊥AB于点

2.如图,在正方形ABCD中,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足.∠MAN=45°,连接MN,求证:.

3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-20,,点B的坐标为(4,0),P为y轴正半轴上的一个动点,M为PB的中点,过点M作AM的垂线,交y轴正半轴于点C.当P点运动时,试求

专题二倍长中线与勾股定理

典例精讲

【例】如图,在△ABC中,.∠ACB=60°,P,Q分别在AC,BC上,M是AB的中点,且.PM⊥MQ.若AP=4,BQ=6,求

针对训练

1.如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,,BC

(1)求BC的长;

(2)过点B作BE⊥AC,交CA的延长线于点E,求BE的长.

C

2.如图,点D为等边.△ABC的边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,且∠EDF=90°.若BE=4,CF

专题三角平分线翻折与勾股定理

典例精讲

【例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠BAC交BC于点F,交CD于点E,过点E作EH∥AB交BC于点

(1)求证:CF=BH;

(2)若AC=6,AB=10,求FH的长.

针对训练

1.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E.若AB=21,AD=9,BC=

2.我们引入如下概念,定义:到三角形的两条边的距离相等的点,叫做这个三角形的准内心.举例:如图1,PD⊥AC于点D,PE⊥BC于点E,若PD=PE,则P为△ABC的准内心。

(1)填空:根据准内心的概念,图1中的点P在上;

(2)应用:如图2,△ABC中,AC=BC=13,AB=10,,准内心P在AB上,求P到AC边的距离PD的长;

(3)探究:如图3,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=6,∠C=90°,准内心P在△ABC的边AC上,求PC的长

专题四构旋转全等(一)旋转(60°

典例精讲

【例】如图,△ABC是等边三角形,点D在.△ABC的外部,且∠ADC=30°,求证:.

针对训练

1.如图,P为等边,△ABC内的一点,

(1)求∠APC的度数;

(2)求等边△ABC的边长.

2.如图,在△ABC中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,,以AC为边向,△

专题五构旋转全等(二)旋转90°

典例精讲

【例】在△ABC中,AB=AC,点D在

(1)如图1,当D,B两点在AC同侧时,求证:.BD

(2)如图2,当D,B两点在AC异侧时,探究BD,DC,DA之间的数量关系.

针对训练

1.如图,在等腰Rt△ABC中,AB=AC,D为△ABC外的一点,且.∠ADB

2.如图,D,E是等腰Rt△ABC的斜边BC所在直线上的两点,且.∠DAE=135°,,求证:

专题六构旋转全等(三)旋转120°

典例精讲

【例】如图,在△AOB中,.AO=BO=13

针对训练

1.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,点P在直线AB上方,且.∠APB=60°,,求C

C

2.如图,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°,将△EDF`绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点

(1)猜想:当0°∠CDF60°°时,AM+CKMK,证明你所得到

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