空间向量及其运算练习题.pdf

空间向量及其运算

基础知识梳理

1.空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量.

(2)相等向量：方向________且模________的向量.

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量.

(4)共面向量：________________________________的向量.

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理

∥

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，ab的充要条件是________________________.

推论如图所示，点P在l上的充要条件是：

→→→

OP＝OA＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB＝a，

→→→→

则①可化为OP＝________或OP＝(1－t)OA＋tOB.

(2)共面向量定理的向量表达式：p＝____________，其中x，y∈R，a，

→→→

b为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点

→→→→→

O，有OP＝____________或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝

______.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，

使得p＝____________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

→→

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向

π

量a与b的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a，b〉＝，则

2

⊥

称a与b__________，记作ab.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则____________叫做向量a，b的数量积，记作__________，

即__________________.

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝____________；②交换律：a·b＝__________；

③分配律：a·(b＋c)＝__________.

4.空间向量的坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算

设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则a·b＝________________.

123123

(2)共线与垂直的坐标表示

设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，

123123

则a∥b⇔______________⇔____________，____________，