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第06讲分式方程
目录
TOC\o1-3\n\h\z\u一、考情分析
二、知识建构
考点一解分式方程
题型01判断分式方程
题型02分式方程的一般解法
题型03分式方程的特殊解法
类型一分组通分法
类型二分离分式法
类型三列项相消法
类型四消元法
题型04错看或错解分式方程问题
题型05解分式方程的运用(新定义运算)
题型06根据分式方程解的情况求值
题型07根据分式方程有解或无解求参数
题型08已知分式方程有增根求参数
题型09已知分式方程有整数解求参数
考点二分式方程的应用
题型01列分式方程
题型02利用分式方程解决实际问题
类型一行程问题
类型二工程问题
类型三和差倍分问题
类型四销售利润问题
考点要求
新课标要求
命题预测
解分式方程
能解可化为一元一次方程的分式方程
中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,分值为10分左右,预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题(较难)、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
分式方程的应用
能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性
考点一解分式方程
分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
增根的概念:在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增根.
1.
1.分式方程与整式方程的根本区别:分母中含有未知数,也是判断分式方程的依据.
2.去分母时要把方程两边的式子作为一个整体,记得不要漏乘整式项.
3.分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中,只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.
4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的公分母为0的根,它不是原分式方程的根.
5.解分式方程可能产生使分式方程无意义的根,检验是解分式方程的必要步骤.
6.分式方程有增根与无解并非是同一个概念.分式方程无解,需分类讨论:可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.
题型01判断分式方程
【例1】(2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测)下列方程:①1x+1=x;②x+12-3=0;③2x
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变式1-1】(2022南明区二模)下列关于x的方程,是分式方程的是(???)
A.x2-3=x5 B.12
题型02分式方程的一般解法
【例2】(2023·辽宁大连·统考中考真题)将方程1x-1+3=3
A.1+3=3x1-x B
C.x-1+3=-3x
【变式2-1】(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)方程1x+2+
【变式2-2】(2022·青海西宁·统考中考真题)解方程:4x2+
【变式2-3】(2022·山东济南·统考中考真题)代数式3x+2与代数式2x-1
【变式2-4】(2022·湖南常德·统考中考真题)方程2x+1
解分式方程方法:先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程,再解整式方程,最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.
题型03分式方程的特殊解法
类型一分组通分法
方法简介:如果整个方程一起通分,计算量大又易出错,观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.
【例3】解方程:3
类型二分离分式法
方法简介:每个分式的分母与分子相差1,利用这个特点可采用分类分式法求解
【例4】解方程:x
类型三列项相消法
方法简介:根据分式方程的结果特点,依据公式“1nn+
【例5】我们把分子是1的分数叫做分数单位,有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差,如16=12-13,112=
【变式5-1】因为11×2
所以11×2
(1)在和式11×2+12×3+13×4
(2)解方程:1x
【变式5-2】探索研究:
请观察:
①1x
②1x
③1x
④1x
……
(1)请写出第n个等式;
(2)解方程:1x
(3)当m为正整数时,12+
【变式5-3】探索发现:
11×2
根据你发现的规律,回答下列问题:
(1)14×5=,1n×(n+1)
(2)利用你发现的规律计算:1
(3)利用规律解方程:1
类型四消元法
方法简介:当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.
【例6】用换元法解分式方程xx2-1+
【变式6-1】阅读与思考
阅读下面的材料,解答后面的问题.
解方程:x-
解:设y=x-1x,则原方程可化为y
解得y=±2
经检验:y=±2都是方程y-4
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