2024年中考数学复习（全国版）专题15 二次函数的图像与性质【十大题型】（举一反三）（解析版）.docx

专题15二次函数的图像与性质【十大题型】

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【题型1根据二次函数解析式判断其性质】 3

【题型2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】 6

【题型3二次函数平移变换问题】 12

【题型4根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 15

【题型5根据二次函数的性质求最值】 18

【题型6根据二次函数的最值求字母的取值范围】 21

【题型7根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 24

【题型8根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 27

【题型9二次函数图象与各项系数符号】 29

【题型10二次函数与三角形相结合的应用方法】 34

【知识点二次函数的图像与性质】

1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。

二次函数解析式的表示方法

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，

它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，

其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

2.二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。

y=ax2

y=ax2+k

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

y=ax2+bx+c

对称轴

y轴

y轴

x=h

x=h

顶点

(0，0)

(0，k)

(h，0)

(h，k)

a0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a0时，顶点是最高点，此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或)。

增

减

性

a0

x0(h或)时，y随x的增大而减小；x0(h或)时，y随x的增大而增大。

即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。

a0

x0(h或)时，y随x的增大而增大；x0(h或)时，y随x的增大而减小。

即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。

3.二次函数的平移：

方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：

方法二：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

4.二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2.b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

3.c决定了抛物线与轴交点的位置

字母的符号

图象的特征

a

a＞0

开口向上

a＜0

开口向下

b

b＝0

对称轴为y轴

ab＞0(a与b同号)

对称轴在y轴左侧

ab＜0(a与b异号)

对称轴在y轴右侧

c

c＝0

经过原点

c＞0

与y轴正半轴相交

c＜0

与y轴负半轴相交

5.二次函数与一元二次方程之间的关系

判别式情况

b2－4ac＞0

b2－4ac＝0

b2－4ac＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点

a＞0

a＜0

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根

有两个不相等的实数根x1，x2

有两个相等的实数根x1＝x2

没有实数根

当b2－4ac＜0时

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

【题型1根据二次函数解析式判断其性质】

【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是(????)

A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点

C．当x2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是

【答案】D

【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可．

【详解】解：A、∵a

B、∵y=

∴Δ=

即图象与x轴有两个交点，

故此选项不符合题意；

C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=2

∴当x2时，y随x

故此选项不符合题意；

D、∵y=

∴图象的顶点坐标是(2,-3)，

故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本