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第十三章拉普拉斯变换

13.1拉普拉斯变换的定义

13.2一些常用函数的拉普拉斯变换

13.3拉普拉斯变换的基本性质

13.4拉普拉斯反变换

13.5应用拉普拉斯变换分析线性电路

用运算法计算线性电路，要将电路方程以复频域函数表达。

把元件伏安特性的时域函数转换成复频域函数关系，将时域电路模型转变成复频域电路模型，按复频域电路模型列出复频域电路方程。求出复频域解，再反变换为时域解。

13.5.1电路元件的复频域模型

电阻：U

电感：U

复频域电路模型：

电容：U

复频域电路模型：

耦合电感：

U

U

运算电路为：

13.5.2电路基本定律

在直流电路及相量法中所学到的各种定理及计算方法，如叠加定理，戴维南定理、节点法、回路法等，均可用于复频域电路的分析计算。

13.5.3运算法分析动态电路

应用运算法分析动态电路的步骤：

①确定动态元件t=0-

②将时域电路变换为复频域电路，动态元件的初始状态作为附加电源处理。

③列出复频域变量的代数方程

④求解出复频域解，再由拉氏反变换得时域解。

13.6网络函数的定义及其性质

13.6.1复频域中网络函数的定义

网络函数H(s)：线性非时变网络在单一激励f(t)作用下，零状态响应y(t)的象函数Y(s)与激励的象函数F(s)之比。

H(s)

响应与激励可以同属于一个端口，也可以不属于同一个端口。

当激励与响应同属于一个端口时，H(s)=Y(s)F(s)=U(s)I(s)称为驱动点阻抗，H(s)=I(s)U(s)称为驱动点导纳；若不属于同一端口，则网络函数称为传递函数，H(s)=U2(s)I1(s)称为传递阻抗（转移阻抗），H(s)=

网络函数是一个电源激励与由它产生的零状态响应之比，若网络中有多个电源，则每个电源将通过其各自的网络函数产生相应的响应分量，由叠加定理可得总的响应。

13.6.2网络函数与冲激响应

单位冲激函数δ(t)的象函数为F(s)=1，当激励f(t)=δ(t)为单位冲激函数时，网络函数为：

H(s)=

其中Y(s)是冲激响应的象函数，即：

h

H(s)是网络冲激响应的象函数，网络函数H(s)的原函数h(t)

网络函数由网络结构和元件参数决定，线性时不变电路由线性RLC及独立电流，受控源（控制系数为常数）等元件组成。因此，网络函数是一个关于s的实系数有理式。

H(s)=

假设电路（网络）中某一个变量（支路电流、两点间电压等）在给定初始条件下的零输入响应为x(t)，且x(t)=i=1

式中Ai仅取决于初始状态，Pi仅取决于电路结构及元件参数。显然，Pi(i=1,2,3,?,n)决定着零输入响应的变化规律，所以把Pi

网络函数H(s)的分母多项式Q(s)的根就是对应电路变量的固有频率。但不一定包括了所有对应电路变量的全部固有频率。

13.6.3网络函数的性质

网络函数H(s)的性质归纳如下：

①H(s)是一个实系数有理分式，其分子、分母多项式的根为实数或共轭复数。

②H(s)的原函数h(t)即为对应变量的

③一般情况下，H(s)分母多项式的根即为对应电路变量的固有频率。

所以：

①已知H(s)，以及电路初始状态，可以求得零输入响应。（从H(s)分母多项式可解得固有频率Pi

②已知H(s)、f(t)→

③已知H(s)、F(s)及初始状态，可求完全响应。

13.7复频域网络函数的极点与零点

由于网络函数H(s)分子、分母都是多项式，可以用因式乘积表示：

H(s)=

式中Zj(j=1,2,?,m)为P(s)=0的根，当s=zj时，H(s)=0，所以zj称为网络函数H(s)的零点；Pi(i=1,

H(s)的极点与零点为实数或共轭复数，且H(s)的极点即为对应变量的固有频率。

以s的实部σ为横轴，虚部j?为纵轴的坐标平面称为复频率平面，简称复平面或s平面。在s平面上标出H(s)的零点、极点位置（习惯上用?表示零点，×表示极点），就得到H(s)的极、零点图。极、零点的在s平面上的分布与网络的时域动态响应和正弦稳态响应有着密切关系。

13.8极点、零点与冲激响应

若网络函数H(s)的分母具有单根且为真分式，则对应变量的冲激响应为：

u(t)=

其中，pi为H(s)的极点。只要全部极点位于s平面的左半平面，则h(t)必随时间增长而衰减，电路是稳定的。有极点位于右平面，电路将不稳定。一般一个实际的线性电路（无负电阻），其网络函数的极点一定位于