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第十四章状态方程

14.1电路的状态、状态变量及状态方程

14.1.1状态和状态变量

经典法分析一阶、二阶电路时，求响应除了要知道电路结构及参数和外加激励之外，还必须知道电路中电容电压，uC和电感电流iC的初始值。有了这些初始值才能确定积分常数，才能确定

uC及iL的初始值称为电路的初始

一般意义上的定义：

一个电路在t=t0时的状态，是指能完全描述在这一时刻电路性能的最小变量组。这个变量组中的每一个变量，称为

完全描述电路性能：如果给定t=t0时这组变量的值和t≥

变量是各元件电流、电压等。最小是指这些变量组中每一个变量都是独立的，不可能用其它变量的线性组合来表示。

若一个电路中有几个状态变量x1(t),x2

X

状态变量一般选取各独立电容的uC(t)，各独立电感的

14.1.2电路的状态方程和输出方程

从关于电路初始值问题的讨论中知道，如果已知t=t0时的状态和输入，就可以确定电路中任一电流、电压在这一时刻的响应值。也就是说，

所以，如果我们确定了状态变量的时间特性（即与时间的函数关系），就能确定在给定输入下每一个响应的时间特性。先求得状态变量，再求其余响应。

用状态变量分析法求解动态电路有两个步骤，需要建立与求解两组方程：

14.1.2.1关于状态变量与时间关系的状态方程

以uC，iL为状态变量，建立将各iC，uL用状态变量与激励表达的方程，其中iC=CduCdt

对于一个具有n个状态变量x1,x2

x

x

X

其中：X为状态向量，X为状态变量的一阶微分矢量，F为输入向量，A，B为系数矩阵。

状态方程是一个一阶线性微分方程组，求解状态方程便可得到状态变量的时间函数形式。

14.1.2.2关于响应与状态变量及激励之间关系的输出方程

将输出变量以状态变量及激励的线性组合表示即为输出方程。若有k个输出变量，输出方程表示为：

y

y

Y

其中：Y是输出向量；C，D是系数矩阵。

状态变量法阐明了电路的外加激励、状态变量、输出变量之间的关系，也称“内部描述法”。

14.2状态方程的建立

建立状态方程是状态变量分析法的关键步骤，有不少方法。本节介绍其中三种常用基本方法。

14.2.1电容节点－电感回路法（直观法）

取uC，iL为状态变量，则iC、uL可以用uC、iL及输入来表达。而uL=LdiLdt，iC

基本步骤：

①选取电路中各独立电容的电压uC、各独立电感的电流iL为电路的状态变量。与理想电压源并联的电容、与理想电流源串联的电感、全部由电容及电压源构成的回路、全部由电感支路及电流源构成的节点或割

②对每个独立电容，选取与它连接的并且只接有这一个电容的结点，建立KCL方程。将方程中所有非状态变量都代换为状态变量和激励，经整理可得到一个关于du

③对每个独立电感，选取包含且只包含这一个电感的回路，建立KVL方程。将方程中所有非状态变量都代换为状态变量和激励，经整理可得到一个关于di

④联立所得方程，将其表示为矩阵形式，即得到电路的状态方程。

14.2.2电容割集－电感回路法（观察法）

如果一个电容的两端结点上都连接有其它电容，则无论取其中那一个结点建立KCL方程，方程中都含有两个电容电压的一阶微分。为避免出现这类问题，可对电容割集建立KCL方程，使方程中只含有一个电容电压的一阶微分。

基本步骤：

①画电路拓扑图，选一个适当的树。

②分别建立包含单个独立电容的基本割集的KCL方程、包含单个独立电感的基本回路的KVL方程。

③经代换、整理得到状态方程及输出方程。

选树的原则：

①树支选择优先顺序为：独立电容支路、电压源支路、电阻支路。

②连支选择优先顺序为：独立电感支路、电流源支路、电阻支路。

14.2.3迭加法

迭加法是应用替代定理和叠加定理来列写状态方程的方法。只适用于线性电路。

基本步骤：

①选独立的uC，i

②应用替代定理，用电压为uC的独立电压源替代电容；用电流为iL

③应用叠加定理，让激励电源、替代电压源uC、替代电流源iL各自单独作用，分别求得相应产生的iC和uL分量，然后叠加求得总的

④整理得状态方程。

14.3状态方程的复频域解法

对状态方程X=

L[

X

其中Φ(s)=(sE-

X(s)是状态方程的频域解

X

L-

L-1[