2023年进才高一下期中试卷.docx

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上海市进才中学2022学年第二学期期中考试

高一年级数学试题命

（时间90分钟，满分100分）

一、填空题（满分36分，共12小题，每小题3分）

1.与反向的单位向量为__________．

2.函数的单调递增区间为______．

3.设，是不共线向量，与共线，则实数为__________．

4.已知，，则______.

5.函数的单调递减区间是______.

6.已知，且，则实数______．

7.已知单位向量，满足，则______．

8.已知向量，则在方向上数量投影为___________

9.如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.

10.如图，中，，，CD与BE交于F，设，，，则__________．

11.如图，函数的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则__________．

在斜三角形△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的最小值为____________

二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分，每题只有一个正确答案）

13.设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（）

A.若|＋|＝||－||，则⊥

B.若⊥，则|＋|＝||－||

C.若|＋|＝||－||，则存在实数λ，使得＝λ

D.若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－||

14.已知和都是锐角，向量，，则（）

A.存在和，使得 B.存在和，使得

C.存在和，使得 D.存在和，使得

15.已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（）

A.的最小正周期为

B.单调递减区间是，

C.的图象关于直线对称

D.的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数

16.有下面两个命题：

①若是周期函数，则是周期函数；

②若是周期函数，则是周期函数，

则下列说法中正确的是（）．

①②都正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①②都错误

三、解答题（本大题共5题，满分48分，解答要有论证过程与运算步骤）

17.已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．

18.已知向量，，．

（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；

（2）若，且，求向量与的夹角大小．

19.为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，.

（1）求的长度.

（2）假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.

20.如图，梯形，，，，为中点，．

（1）当时，用向量表示的向量；

（2）若为大于零常数），求的最小值，并指出相应的实数的值．

21.已知函数是定在上函数，且满足关系．

（1）若，若，求的值域；

（2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；

（3）若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与．