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2018高考数学立体几何答案
1.（本小题14分）如图，在三棱柱ABC?ABC
中，CC
?平面ABC，D，E，F，G分别为
111 1
AA，AC，AC
，BB
的中点，AB=BC=
，AC=AA
=2．
51 11 1 1
5
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B?CD?C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
【解析】（1）在三棱柱ABC?ABC中，QCC
?平面ABC，
111 1
?四边形AACC为矩形．又E，F分别为AC，AC
的中点，
1 1 11
?AC?EF，QAB?BC，?AC?BE，
?AC?平面BEF．
1（2）由（1）知AC?EF，AC?BE，EF∥CC．
1
又CC
1
?平面ABC，?EF?平面ABC．
QBE?平面ABC，?EF?BE．如图建立空间直角坐称系E?xyz．
由题意得B?0,2,0?，C??1,0,0?，D?1,0,1?，F?0,0,2?，G?0,2,1?，
uuur
?CD=
?2,0
,1?，
uur
CB=
?1,2,0
?，设平面BCD的法向量为n??a,b,c?，
?n?uuur
?? CD?0
?2a?c?0
? uur ，?? ，
??n?CB?0 ?a?2b?0
令a?2，则b??1，c??4，?平面BCD的法向量n??2,?1，,?4?，
uur
uur
uur
uurnEB
uur
nEB
21
又Q平面CDC
1
的法向量为EB=?0,2,0?，?cos?n?EB??
EB=? ．
21
由图可得二面角B?CD?C
1
为钝角，所以二面角B?CD?C
1
的余弦值为? ．
2121
21
（3）平面BCD的法向量为n??2,?1,?4?，QG?0,2,1?，F?0,0,2?，
uuru
?GF=
?0,?2,1?
uuur
，?n?GF??2，?n
uuur
与GF不垂直，
?GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，?GF与平面BCD相交
2．（本小题14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD?平面ABCD，
PA?PD，PA?PD，E，F分别为AD，PB的中点．
求证：PE?BC；
求证：平面PAB?平面PCD；
求证：EF∥平面PCD．
【解析】（1）QPA?PD，且E为AD的中点，?PE?AD，
Q底面ABCD为矩形，?BC∥AD，?PE?BC．
Q底面ABCD为矩形，?AB?AD，
Q平面PAD?平面ABCD，?AB?平面PAD，
?AB?PD．又PA?PD，QPD?平面PAB，?平面PAB?平面PCD．
如图，取PC中点G，连接FG，GD．
QF，G分别为PB和PC的中点，?FG∥BC，且FG?1BC，
2
Q四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，?ED∥BC，DE?1BC，
2
?ED∥FG，且ED?FG，?四边形EFGD为平行四边形，
?EF∥GD，又EF?平面PCD，GD?平面PCD，
?EF∥平面PCD．
3．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕
把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF.
证明：平面PEF?平面ABFD；
求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
解答：（1）E,F分别为AD,BC的中点，则EF//AB，∴EF?BF，又PF?BF，EF?PF?F，∴BF?平面PEF，
BE?平面ABFD，∴平面PEF?平面ABFD.
PF?BF，BF//ED，∴PF?ED，
又PF?PD，ED?DP?D，∴PF?平面PED，∴PF?PE，
3设AB?
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