湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期3月综合测试（一）数学试题（含答案解析）.docx

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期3月综合测试（一）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（????）

A．4 B．5 C．6 D．9

2．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

3．记为等差数列的前项和，若，则（????）

A．20 B．16 C．14 D．12

4．若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（???）

A． B． C． D．

6．已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（????）

A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分

C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分

7．已知，，则（????）

A． B． C． D．

8．方程所有正根的和为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（????）

A． B． C． D．若，则

10．四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（????）

A．不存在点M，使得

B．的最小值为

C．四棱锥的外接球表面积为5π

D．点M到直线AB的距离的最小值为

11．设a为常数，，则（????）．

A．

B．成立

C．

D．满足条件的不止一个

三、填空题

12．的展开式中的系数为．（用数字作答）

13．如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为，其中下坡路段长为．

??

14．设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为，使得取到最大值的数列的个数为.

四、解答题

15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.

(1)求证：；

(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.

16．如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥.

(1)若，求证：平面平面；

(2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

17．已知函数(其中为常数且)在处取得极值.

(1)当时，求的极大值点和极小值点；

(2)若在上的最大值为1，求的值.

18．物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

??

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）

19．若函数满足且（），则称函数为“函数”．

(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；

(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；

(3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

参考答案：

1．C

【分析】

根据题意算出极差，进而得到该组数据的中位数，列式求出，进而利用百分位数的定义得出答案.

【详解】根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，

则极差为，故该组数据的中位数是，

数据共6个，故中位数为，解得，

因为，所以该组数据的第40百分位数是第3个数6，

故选：C.

2．A

【分析】

先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可.

【详解】

因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心