2018届高三理科数学二轮复习讲义模块二 专题五 第二讲 圆锥曲线的方程与性质 .docx

专题五 解析几何

第二讲 圆锥曲线的方程与性质

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以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考查的重点.

1．(2017·浙江卷)椭圆9＋4＝

x2 y2

1的离心率是(

)

A.

13

3

B.

5

3

C.2

3

D.5

9

[解析]

由题意得，a＝3，b＝2，

∴c＝ a2－b2＝5，

∴离心率e＝c＝ ，故选B.

3

5

a

[答案]

B

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2－y2＝1(a0，b0)的一条

a2 b2

渐近线方程为y＝

5 x2 y2

1有公共焦点，则C的方程

为( )

x2 y2

A.8－10＝1

2x，且与椭圆12＋3＝

x2 y2

B.4－5＝1

x2 y2

C.5－4＝1

[解析]

x2 y2

D.4－3＝1

x2

解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为4－

y2 x2 y2 x2 y2

5＝k(k0)，即4k－5k＝1，∵双曲线与椭圆12＋3＝1 有公共焦点，

∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1

x2 y2 1.

，故双曲线C的方程为4－5＝

x2 y2 x2 y2

＝1有公共焦点，∴a2＋b2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y＝

＝1有公共焦点，∴a2＋b2＝(±3)2＝9①，

∵双曲线的一条渐近线为y＝2x，∴＝

5

b

a

5

2

②，

联立①②可解得a＝4，b＝5.∴双曲线C的方程为4－5＝

2

2

x2 y2

1.

[答案]

B

3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B

两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，则C

的焦点到准线的距离为(

A．2 B．4

C．6

)

D．8

[解析]

不妨设C：y2＝2px(p0)，A(x2

?2

1,

2)，则x＝

2?2p

2

4

1

＝，

p

?4?

?p?

p 2由题意可知|OA|＝|OD|，得? ?2＋8＝? ?2＋5，解得p＝4.故选B.

p 2

? ? ? ?

[答案] B

4．(2017·全国卷Ⅲ)

x2 y2

C

C

1(ab0)的左、右焦点

22已知椭圆 ： ＋ ＝

2

2

a b

AA分别为 ，

A

A

1 2

，且以线段

AA1 2

A

A

为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相

切，则C的离心率为( )

6

3

3

3

2

3

D.1

3AA[解析] 以线段

3

A

A

1 2

为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直

线bx－ay＋2ab＝0相切，

|b×0－a×0＋2ab|

∴ ＝a，即2b＝ a2＋b2，b2＋?－a?2

∴a2＝3 2

2 2 2

c2 2 c 6

b，∵a

＝b＋c，∴2＝，∴e＝＝ .

a 3 a 3

[

[答案]

A

5．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C

上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝

.

[解析]

如图所示，设N(0，m)．

又F(2,0)，则

M? ，2?

?1

?

m?.设M代入y＝8x，

?

2

得4

m2＝8，解得m＝±4

2.

∴|FN|＝ ?2－0?2＋?0－m?2＝36＝6.

[答案] 6

考点一 圆锥曲线的定义与标准方程

圆锥曲线的定义

1椭圆：|PF

1

|＋|PF

|＝2a(2a|F

|)；

F2

F

211 2 1 2(2)双曲线：||PF|－|PF||＝2a(2a|FF|)

2

1

1 2 1 2

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.

[对点训练]

1．(2017·惠州二模)已知椭圆x2＋y2＝1(ab0)的一个焦点是( 2，

a2 b2

，且截直线x＝

A.x2 y2

A.

12＋8＝1

x2 y2

C.4＋6＝1

4

2所得弦长为3

2

6，则该椭圆的方程为( )

x2 y2

B.8＋12＝1

x2 y2

D.6＋4＝1

[解析] 由已知得c＝2，直线x＝2过椭圆的右焦点，且垂直

?x＝c，

于x轴，由?

x2 y2

b2 2b2

可得y＝ 2±a，∴截直线x＝ 所得弦长为

可得y＝ 2

b?a2＋

b

?2b2 4

2＝1

由?a＝3 6，

得a2＝6，b2＝4.

?a2－b2＝2

x2 y2

∴所求椭圆的方程为6＋4＝1.

[答案] D