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浙江省杭州市浙大附中2023-2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.
对于下列说法:
①越小,则国民分配越公平;
②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.
其中正确的是:
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
2.二项式展开式中,项的系数为()
A. B. C. D.
3.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.世纪产生了著名的“”猜想:任给一个正整数,如果是偶数,就将它减半;如果是奇数,则将它乘加,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图,若输入正整数的值为,则输出的的值是()
A. B. C. D.
5.如图所示,正方体的棱,的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
6.若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为()
A.1 B.2
C.3 D.4
7.已知集合,,则()
A. B.
C. D.
8.已知平面向量,满足且,若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时,的最大值为()
A. B. C. D.1
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()
A. B. C. D.
10.设,则“”是“”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11.已知函数的部分图象如图所示,则()
A. B. C. D.
12.已知为虚数单位,复数满足,则复数在复平面内对应的点在()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。
14.已知向量,且向量与的夹角为_______.
15.定义在上的奇函数满足,并且当时,则___
16.若,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,四棱锥中,底面,,点在线段上,且.
(1)求证:平面;
(2)若,,,,求二面角的正弦值.
18.(12分)已知函数
(1)求函数的单调递增区间
(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上不同两点,如果在曲线上存在点,使得①;②曲线在点M处的切线平行于直线AB,则称函数存在“中值和谐切线”,当时,函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由
19.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,且.
求的值;
设的平分线与边交于点,已知,,求的值.
20.(12分)已知等比数列中,,是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为.若直线交曲线于,两点,求线段的长.
22.(10分)已知.
(1)解不等式;
(2)若均为正数,且,求的最小值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.
2、D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.
【详解】
二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.
故选:D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
3、C
【解析】
讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.
【
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