同济第六版高数多元函数的基本概念.pptVIP

同济第六版高数多元函数的基本概念目录CONTENCT多元函数的定义与表示多元函数的连续性多元函数的偏导数多元函数的极值多元函数的泰勒公式01多元函数的定义与表示定义表示方法定义与表示方法多元函数是指定义在多个变量上的函数，通常表示为$f(x,y,z)$或$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其中$x,y,z$或$x_1,x_2,...,x_n$是自变量，而$f$是因变量。多元函数可以通过表格、图形或数学表达式来表示，其中数学表达式是最常用的表示方法。多元函数的几何意义几何解释多元函数可以看作是定义在空间中的曲面或图形，其中每个自变量对应一个维度。切平面对于多元函数在某一点的值，可以定义一个切平面，该切平面与该点的函数值有关。多元函数的极限是指当自变量趋近某个值时，函数值的趋近状态。极限概念与一元函数的极限类似，多元函数的极限也具有唯一性、有界性、局部有界性等性质。极限的性质多元函数的极限02多元函数的连续性函数在某点连续如果当自变量趋近于某一定值时，函数值无限趋近于某一确定值，则称函数在这一点连续。函数在区间连续如果函数在区间内每一点都连续，则称函数在该区间连续。连续性的定义VS如果函数在某点的极限存在，则该点必连续。零点性质如果函数在某点的值为零，且在该点的某个邻域内连续，则该点必为函数的极值点。极限性质连续函数的基本性质如果函数在某点的某个邻域内连续，则该点必为函数的极值点。如果函数在某个区域内的每一点都连续，则该函数在该区域内必有最大值和最小值。局部性质全局性质多元函数的连续性定理03多元函数的偏导数偏导数的定义与性质对于一个多元函数，如果一个变量变化时，其余变量保持不变，那么这个变量的一阶导数即为偏导数。偏导数的定义偏导数具有线性、连续性和可微性等性质，这些性质在研究多元函数的性质和求解偏微分方程时非常重要。偏导数的性质高阶偏导数的定义对于一个多元函数，如果一个变量的二阶导数（即该变量的一阶偏导数的导数）存在，那么这个二阶导数即为高阶偏导数。高阶偏导数的性质高阶偏导数具有连续性、可微性和线性等性质，这些性质在研究多元函数的性质和求解高阶偏微分方程时非常重要。高阶偏导数80%80%100%方向导数与梯度对于一个多元函数，如果一个方向的变化导致函数值的变化，那么这个方向的一阶导数即为方向导数。对于一个多元函数，如果所有方向导数的极限存在，那么这个极限即为梯度。梯度是一个向量，其方向为函数值增加最快的方向，其大小为该方向上函数值增加的最快速度。方向导数的定义梯度的定义梯度的性质04多元函数的极值极值的定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，如果对邻域内任意的$(x,y)$，当$(x,y)\to(x_0,y_0)$时，都有$f(x,y)\leqf(x_0,y_0)$（或$f(x,y)\geqf(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极大值（或极小值），点$(x_0,y_0)$称为极大值点（或极小值点）。极值的定义与性质02030401极值的定义与性质极值的性质极值是局部概念，即极值只由函数在某点的附近的行为决定。极值是相对的，即在一个函数内部的极大值可能相对于另一个函数是极小值。极值是稳定的，即只要函数在某点的导数存在且为零，则该点可能是极值点。