陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学（理科）试题（含答案解析）.docx

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陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学（理科）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数，则=（????）

A． B．2 C． D．3

3．从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（????）

A． B． C． D．

4．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（????）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

5．已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（????）

A．-2 B．2 C． D．

7．设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（????）

A．2 B． C．3 D．

8．在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（????）

A．28 B．20 C．18 D．12

9．已知函数且满足，则的最小值为（????）

A． B． C．1 D．2

10．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（????）

A． B． C． D．

11．正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边AB的比为，则PA与平面ABCD所成角的正切值为（????）

A． B． C． D．

12．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知向量，且，则.

14．已知锐角满足，，则.

15．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为个.(用含n的代数式表示)

16．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为．

三、解答题

17．清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：

回老家

不回老家

总计

50周岁及以下

55

50周岁以上

15

40

总计

100

(1)根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；

(2)能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？

参考公式：，其中．

参考数据：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

18．在中，内角的对边分别为，，，．

(1)证明：；

(2)若，当A取最大值时，求的面积．

19．如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，且为等边三角形，，，D为PA的中点．

(1)求证：；

(2)求直线BD与平面PBC所成角的正弦值．

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．

21．已知函数．

(1)若，求在点处的切线方程；

(2)若（）是的两个极值点，证明：．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求线段AB的长度．

23．已知，函数的最小值为2，证明：

(1)；

(2)．

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参考答案：

1．B

【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出.

【详解】由题意知，，

所以.

故选：B.

2．A

【分析】

利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式求解即可.

【详解】，则.

故选：A.

3．C

【分析】

求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.

【详解】

这九个数字中任取两个，有种取法，

和为质数有，共14种情况，

因此所求概率为.

故选：C.

4．B

【分析】

根据圆柱体积公式可求得，代入圆柱侧面积公式即可求得