湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题（含答案解析）.docx

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．一组数据：的第30百分位数为（????）

A．30 B．31 C．25 D．20

2．若集合，集合，则的真子集个数为（????）

A．14 B．15 C．16 D．31

3．已知为锐角，若，则（????）

A． B． C． D．

4．某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲?乙?丙等六人分别上台发言，其中负责人甲?乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（????）

A．240种 B．120种 C．156种 D．144种

5．“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

7．已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知函数，则下列结论正确的有（????）

A．的最小正周期为 B．关于点对称

C．关于直线对称 D．在区间上单调递减

10．已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有(????)

A． B．

C．的最小值为 D．的最大值为

11．已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知等差数列的前项和为.若，，则.

13．在中，边上的高为，则.

14．已知，若恒成立，则实数的取值范围是.

四、解答题

15．如图所示，在四棱台中，底面是菱形，平面.

(1)证明：；

(2)若，棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角余弦值为.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.

16．为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

(1)根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值；

(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；

(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值.

附：若随机变量服从正态分布，则，.

17．设函数.

(1)求的极值；

(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.

18．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点.

(1)若经过点，且，求；

(2)若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.

19．给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.

(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）

(2)任取一个5元理想数集，求证：；

(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.

注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

参考答案：

1．C

【分析】

从小到大排列后，由第百分位数的定义求解即可.

【详解】将这组数据从小到大排列为，

因为，

所以第30百分位数为第三个数，即为，

故选：C.

2．B

【分析】

先化简集合A,B，再求交集从而确定真子集个数.

【详解】由,得，故；

由，得，故，

则，故的真子集个数为.

故选：B.

3．A

【分析】

由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.

【详解】已知为锐角，若，则，

所以.

故选：A.

4．D

【分析】

将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.

【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，

则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法，

故不同的安排方法共有种.

故选：D.