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3.2.1几个常用函数的导数高二数学选修1-1第三章导数及其应用一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是:说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数.说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数.3.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。4.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.物理意义,就是在某时刻的瞬时速度。5.求切线方程的步骤:(1)求出函数在点x0处的导数,得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即1.函数y=f(x)=c的导数y=cyxOy?=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数,则y?=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.从几何的角度理解:从物理的角度理解:2.函数y=f(x)=x的导数y=xyxOy?=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y?=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.从几何的角度理解:从物理的角度理解:探究在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?21-1-2-2-112xyy=xy=2xy=3xy=4x1表示每条直线的斜率。2y=4x增长的最快,y=2x增长的最慢。3函数y=f(x)=kx的导数K0时,y随x的增加而增加;k0时,y随x的增加而减小|k|越大,直线变化的越快。3.函数y=f(x)=x2的导数y=x2yxOy?=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y?=2x表明:
当x0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢;
当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.
若y=x2表示路程关于时间的函数,则y?=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.从几何的角度理解:从物理的角度理解:4.函数y=f(x)=的导数探究画出函数的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.21-1-2-2-112xy由图像看出,x0时,y随x的增大而减小,越来越慢。X0时,y随x的增大而减小,且减小的越来越快。小结1.若f(x)=c(c为常数),则f?(x)=0;2.若f(x)=x,则f?(x)=1;3.若f(x)=x2,则f?(x)=2x;
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