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常微分方程学习活动4
第二章基本定理的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次,内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第
二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习,目的是通过综合性练习作业,同学
们可以检验自己的学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握.
要求:首先请同学们下载作业附件文档并进行填写,文档填写完成后请在本次作业页面中点
击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务,然后请将所做完的作业文档以附件的形式上
传到课程上,随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
dy
1.方程ysin(x2y2)的任一非零解不能与x轴相交.
dx
2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分条件.
3.方程y+ysinx=ex的任一解的存在区间必是(-∞,+∞).
4.一阶显式方程解的最大存在区间一定是开区间.
5.方程dyx2y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平面.
dx
6.方程dysinxcosy满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平
dx
面.
7.方程dyx2siny满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平
dx
面.
dy
8.方程y1满足解的存在唯一性定理条件的区域是
dx
D{(x,y)R2y0}
,(或不含x轴的上半平面).
dyy(1y)
9.方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面.
dx1x2y2
10.一个不可延展解的存在在区间一定是开区间.
二、计算题
1.判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一?
22
(1)yxy(2)yxsiny
f(x,y)x2y2f(x,y)2yxoy
.解(1)因为及y在整个平面上连续,且满足存在唯
1
xoy
一性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.
f(x,y)xsinyf(x,y)cosyxoy
(2)因为及y在整个平面上连续,且满足存在唯一
xoy
性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.
dy31
2.讨论方程y3在怎样的区域中满足定理2.2的条件.并求通过(0,0)的一切解.
dx2
1
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