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泛函分析单元知识总结与知识应用

数学与计算科学学院数学与应用数学一、单元知识总结

第七章、度量空间和赋范线性空间

§1度量空间

§1.1定义：若X是一个非空集合，d:XXR是满足下面条件的实值函

数，对于x,yX，有（1）d(x,y)0当且仅当xy；

（2）d(x,y)d(y,x)；

（3）d(x,y)d(x,z)d(y,z)，则称d为X上的

度量，称(X,d)为度量空间。

1,当xy



例：1、设X是一个非空集合，x,yX，当d(x,y)，

0,当x=y



则(X,d)为离散的度量空间。



2、序列空间S，d(x,y)1|i-i|是度量空间

i

21+|-|

i=1ii

3、有界函数全体B(A)，d(x,y)sup|x(t)-y(t)|是度量空间

tA

4、连续函数C[a,b]，d(x,y)max|x(t)-y(t)|是度量空间

atb

1

l22

5、空间，d(x,y)[(y-x)]2是度量空间

kk

i=1

§2度量空间中的极限，稠密集，可分空间



§2.1收敛点列：设x是(X,d)中点列，如果xX，使limd(x,x)=0，

nn

n

则称点列x是(X,d)中的收敛点列。

n

nx1in,

例：1、xR，x按欧氏距离收敛于的充要条件为各

nn

点列依分量收敛。

2、C[a,b]中d(x,y)0xx（一致）