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概率论2017/12/12
概率论
2017/12/12
第
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概率论之古典概型、几何概型与条件概率
(满分通关)制作人:文江
一、古典概型
公式:P(A)= =事件所含样本点的个数
中所有样本点的个数
原理:2.1.乘法原理(分步完成)
2.2.加法原理(分类完成)
3.排列:
=
=
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
=
n(n-1)(n-2)…2·1=n!
4.组合:
0!
=
=
1
=
!
0!=1=1
例题:5.1.4张卡片上分别有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()
B. C. D.
在某年级中共有8个班,组织一个5个人的团队参加活动。5个人分别来自不同班级的概率为_。
解析:每个人都可能来自8个班级的某个班级,所以共有 种可能性。先在8个班级里面选定5个班级有 种选法,
再将5个人分别放入选定的5个不同班级中有 种放法。所以
概率为 。
盒中有6个灯泡,其中2个次品,4个正品,有放回地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率
取到的两个都是次品
取到的两个中至少有一个正品
解析:从6个中任取两个,共有 =36种取法
(1)设“取到的两个都是次品”为事件A,则
P(A)= =
(2)设“取到的2个中至少有一个正品”为事件B,则
P(B)=1–P(A)= (对立事件)
二、
几何概型
1.
公式:P(A)=
2.
例题:2.1. 在区间[-1,1]上随机取一个数x,cos
的值介于0到
之间的概率为(A)
A. B. C. D.
解析:当0≤cos ≤ 时,-1≤x≤- 且 ≤x≤1,
所以由几何概型公式得概率为 =
2.2 x是[-4,4]上的一个随机数,若使x满足 -40的概率为__。
解析:由不等式 -40得-2x2,即x∈[-2,2],所有x
满足 -40的概率为。
三、条件概率
1.公式:P(A|B)=
2.性质:2.1.P(A|B)≥0
2.2. P(|B)=1
2.3. 对两两互斥的一列事件 , ,…,有
P( |B)= |B)
3.乘法公式:3.1.P(AB)=P(B)P(A|B)
P(AB)=P(A)P(B|A)
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
3.4.
P(
)=
P(
)P(
|
)P(
|
)…P(
|
…
)
全概率公式:P(B)= P(B| )
贝叶斯公式:P( |B)= |
|
(k=1,2,…,n)
例题:6.1. 一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是男孩,则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)( )
解析:一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男,男},{男,女},{女,男},{女,女}. 记事件A为“其中一个是男孩”,事件B为“另一个也是男孩”,则A={(男,女),(女,男),(男,男)},B={(男,女),(女,男),(男,男)},AB={(男,男)}
可知P(A)= P(AB)= 所以P(B|A)= = =
某保险公司吧把被保险人分为3类:“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明,上述3种人在一年内发生事故的概率一次为0.05、0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险的人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%
求被保险的人在一年内出事故的概率。
现知某被保险人的人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?
解析:(1)设D=“被保险的人一年出事故”,A=“被保险的人是谨慎的”,B=“被保险的人是一般的”,C=“被保险的人是冒失的”显然,A,B,C构成完备事件组。三类人一年内是否出事故,相互独立,
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
=20%*0.05+50%*0.15+30%*0.3=0.175
(2)P(A|D)= | = =0.057
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