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概率论与数理统计必考大题解题索引

编制：王健 审核：

题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。

【相关公式】

全概率公式：

设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B，B，……，B

1 2 n

?为S的划分，且P(B)0,则有：

?

P?A?=P

?A|B

1

i

P(B)?P

1

?A|B

2

?P?B

2

???…?P

?A|B

n

?P(B)

n

其中有：P(B|A)?P(AB)。

P(A)

??特别地：当n=

??

P(A)?P(A|B)P(B)?P(A|B)P B.

贝叶斯公式：

设实验E的样本空间为S。A为E的事件,B，B，……，B

为S的一个划分，且P?A??0，

?P?B

?

i

1 2 n

?0(i?1,2,……,n),则有：

P(BA) P(A|B)P(B)

P(B|A)? i ? i i

i P(A) ? n

P(A|B)P(B)

特别地：

当n=2时，有：

j?1 i i

? ?P(AB) P(A|B)P(

? ?

P(B|A)

P(A) P(A|B)P(B)?P(A|B)P(B)

【相关例题】

三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：

恰好取到不合格品的概率；

若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。

解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件Ai表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”（i?1，2，3）。

3

则?A

??，且P(A)?0，A、A、A

两两互不相容，由全概率公式得

i

i?1

i 1 2 3

（1）P(A)??3

i?1

P(A

i

)?P(A|A)

i

?40? 5 ?25? 4 ?35? 2

?37/1000

100 100 100 100 100 100

（2）由贝叶斯公式得

P(A2

|A)= P(A2)P(A|A2)

3

?P(A

j

j?1

)P(A|A)

j

?0.25?0.04?10/3737/1000

有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：

(1)此人来迟的概率；

(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。

解：设事件 表示：“此人来迟了”；事件A分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞

i

机来”（i?1，2，3，4）。则?4

A??，且P(A

)?0，A、A、A、A

两两互不相容

i

i?1

i 1 2 3 4

由全概率公式得

P(A)??4P(A)?P(A|A)

i

i?1

?3?1

i

?1?1?1

?1?

2?1?1

10 4 5 3 10 12 5 8 5

由贝叶斯公式得

3?1

P(A)P(A|A)

P(AA| )= 1 1

?10 4?3

1 ?4

j?1

P(A

j

)P(A|A)

j

1/5 8

题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布

1、求概率密度

【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公

式：?

??f(x)dx?1，且对于任意实数，有：P{x?X?x}?F(x)?F(x)??

?? 1 2 2 1

x

2f(x)dx。

x

1

【相关例题】

设随机变量X的分布函数为：

0,x?1

FX（X）= lnx,1?x?e

1,x?e

① 求P(X?2)、P(0?X?3)、P(2?X?5)

2

② 求概率密度f(x).

x

解：

(1)P(X?2)?P(X?2)?ln2

P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1?0?1

X X

5 5 5

P(2?X? )?F( )?F(2)?ln

(2)dF

dx X

2 X 2 X 4

(X)?1

x

1,1?x?ex

?f(x)?

x

0,其他

（2）f(x)? A (???x???)，是确定常