离散数学之3—二元关系.ppt

第五章二元关系;2。设R是集合X到集合Y的一个二元关系，

如果x?X和y?Y具有关系R，就用符

号xRy表示，也可以表示为(x,y)?R。

例：张三R19和(张三,19)?R表达了相同

的意义。

A到B的二元关系可以形式地表示为：

R={(a,b)?a?A?b?B?aRb};下面举几个二元关系的例子。

例1：设A={2，3，5}，B={1，4，15，25}，

定义A到B的一个二元关系为

R={(a,b)?a?A?b?B?(b=a2?b=a–1)}，

那么，详细写出即是

R={(2,4),(5,25),(2,1),(5,4)}。;例2：设A={2，3，4，5，6，8}，定义A到自身的一个二元关系为MOD3={(a,b)?a,b?A?(a?b(mod3))}，

那么，MOD3={(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(8,8),(2,5),(2,8),(3,6),(5,2),(5,8),(6,3),(8,2),(8,5)}。

例3：设A={2，3，4，5，6，8}，定义A到自身的一个二元关系为DIV={(a,b)?a，b?A?a|b}，那么，

DIV={(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(8,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,8)}。;如果R=A?B，称R为A到B的全关系；

如果R=?，称R为空关系。

A到自身的二元关系称为A上的关系。

因为R?A?B?(A?B)?(A?B)，以后提及的二元关系大都作为集合上的关系看待。

记IA={(x,x)?x?A},称为集合A上的恒等关系或单位关系;3。二元关系的等价表示法

⑴集合表示法：R={(a,b)?a?A?b?B?aRb}

⑵关系矩阵法：设A={a1,a2,...,ap},B={b1,b2,...,bq}。对于关系R?A?B定义矩阵MR=(mij)p?q如下:

1如果(ai,bj)?R

mij=

0如果(ai,bj)?R

称MR为R的关系矩阵.;例：A={2，3，4，5，6}上的二元关系R={(2,2),

(3,3),(2,4),(2,6),(3,5),(3,6),(4,3),(5,2),

(6,4)}的关系矩阵如下:

23456

210101

301011

MR=401000

510000

600100;;5;定义???D1?D2?...?Dn的子集R称为集

合D1,D2,...,Dn间的一个n元关系。

由于可以把D1?D2?...?Dn看成是

(D1?D2?...)?Dn，即把n元关系看成

是一个前域为n-1元关系的二元关系，

本课程以后只关注集合上的二元关系。

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作业：习题5.11、2、4（吴子华）

;第二节二元关系的性质

一、定义：设R是集合A上的二