函数曲线的凹凸性与拐点资料.ppt

数学教研室第四章第五节曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性图形是凹的;定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有切线位于曲线弧的下方则称(2)若恒有切线位于曲线弧的上方则称图形是凸的.分析：xyM1oM2M1xoyM2xM1oM2y当曲线为凹时，曲线的切线斜率随着的增加而增加，即是增函数，因此分析：M1xoyM2xM1oM2y当曲线为凸时，曲线的切线斜率随着的增加而减少，即是减函数，因此xM2yoM1定理4.12(凹凸判定法)(1)在I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在I内则f(x)在I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数例1.判断曲线弧的凹凸性解:所给曲线在(-∞,+∞)内为连续曲线弧.由于可知曲线弧在(-∞,+∞)内为凹的.例2.判断曲线的凹凸性.解:所给曲线在(-∞,+∞)内为连续曲线弧.由于可知，当时，，即曲线弧是凸的当时，，即曲线弧是凹的定义.连续曲线上的凹凸分界点称为拐点。二、曲线的拐点.拐点例.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸或不存在,说明:1)若某点二阶导数为0或不存在,2)根据拐点的定义及凹凸性判断定理,可得拐点的判别法:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.其两侧二阶导数不变号,例3.判定M(0,0)是否为下列曲线弧的拐点解:（是）（是）（不是）注：曲线的凹凸性发生改变的点，函数在其有定义，该点才为曲线拐点.求连续曲线弧拐点的一般步骤：求出y=f(x)二阶导数为零的点.判断以上点两侧二阶导数是否异号，如果二阶导数在xi两侧异号，则点(xi,f(xi))为曲线弧y=f(x)的拐点；否则，点(xi,f(xi))不是曲线弧y=f(x)的拐点求出y=f(x)二阶导数不存在的点.确定函数定义域对应例4.求的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞)++0-0凹凸凹拐点(1,-3)拐点(2,6)对应例5.讨论曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求可疑拐点：令得3)列表判别(-∞,-1/5)-1/5(-1/5,0)0(0,+∞)不存在，此时时，++-0不存在凹凹非拐点拐点凸内容小结曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上的凹凸分界点数学教研室