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走进数学建模世界

华南师范大学数学科学学院06级本科生 (510631) 黄泽君

编者按：由中国教育部国际交流司与师范司，以及东芝公司共同举办的第二届“东芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”2009年11月15日在上海落下帷幕。经过紧张的数学模拟授课、教案评比、即席演讲三项总决赛，最终华南师范大学的黄泽君夺得冠军，南京师范大学的向坤获亚军，陕西师范大学的金涛获季军。三名获奖选手每人除了获奖励高级笔记本电脑一台之外，并获得免费赴日进行短期访学。本刊刊登获得第一名的教案,以飨读者。

【教材】人教版数学必修①3.2函数模型及其应用【课时安排】第4课时

【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院黄泽君

【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而“3.2函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。

【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。

【教学目标】

知识与技能

初步理解数学模型、数学建模两个概念；

掌握框图2——数学建模的过程。

过程与方法

经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；

提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。情感态度价值观

体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；

感受数学的实用价值，增强应用意识；（3）体会数学以不变应万变的魅力。

【教学重点】框图2——数学建模的过程。

【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。

【教学方法】引导探究、讨论交流。【教学手段】计算机、PPT、几何画板。

【教学过程设计】一、教学流程设计

实际问题化为

设计意图：与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化（模型假设）这一重要的

理想化问题化为

设计意图：展示将理想化问题转化为数学问题的数学化过程。

求解数学模型

求解数学模型

设计意图：展示“解模”过程。

数学建模过程

数学建模过程

设计意图：

结合这一实际问题的解决过程，概括出数学建

设计意图：

设计意图：

最优解的探究

1.让学生经历数学建模中的优化过程；

设计意图：

设计意图：

什么是

1.使学生获得科学的数学建模理论：数学建模

与数学模型的概念、数学建模的具体过程；

设计意图：

牛刀小试

1.根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设

设计意图:

小结与思考

1.小结意在强化数学建模理论，形成知识组块；

二、教学过程设计

教学

教 学 内 容

环节

教师 学生 设 计活动 活动 意 图

现有宽为a的长方形板材，请将它设计制

（一）

成一直的开口的长条形水槽，使水槽能通过

的流水量最大。

实际问题化为理想化问

题

1. 初步理想化

教师引导学生阅读理解

问题

学生听讲思考

与大学数学建模相比，过去的中学数

学建模

预计时间2

分钟

在单位时间内，该水槽能通过的流水量取决于水流速度和它的横截面积。我们将问题理想化，假定水流速度是一定的。那么，要

在单位时间内获得最大的流水量，就应该将

，并将其理

想化

缺少理想化这一重要

的环节。

水槽设计成横截面积最大。于是，问题化归为：

现有宽为a的长方形板材，请将它设计制成一开口的长条形水槽，使水槽的横截面积最大。”

进一步理想化

如果将水槽的横截面设计成矩形，那么这一实际问题可以转化为理想化问题：

如下图所示，要建造一个横截面为矩形ABCD的水槽,并且AB,BC,CD的长度之和等于a.问应当怎样设计水槽的深度和宽度,使水槽的横截面积最大?

本环节意在恢复数学建模的真实面目。

D

C

（二）

将理想化问题转化为数学问题预计时间

3

寻找变量以及变量之间的关系

在此问题中，水槽的深度是一个变量，宽

度是另一个变量，横截面积也是一个变量。教师设AB?x，BC?y.矩形ABCD的面积为S.引导那么，这三个变量之间的关系是S?xy. 讲解

变量S由两个变量x和y确定.如果我们能使面积S表达式只由一个变量确定，那么我们研究的问题就可以简化，这就需要寻找两个变量x和y之间的关系。显然,

2x?y?a.

建立数学模型

S?x(a?2x)

将实际问题转化为一个纯数学问题：

展示将学生理想化听讲问题转思考化为数