2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第一册） 3.1.1 椭圆及其标准方程（精讲）（教师版含解析）.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

3.1.1椭圆及其标准方程(精讲)

思维导图

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常见考法

常见考法

考点一椭圆的定义

【例1】(1)(2021·甘肃)设是椭圆：上一点，，分别是的左、右焦点，则()

A．5 B． C．4 D．

(2)(2021·湖南)椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于()

A．2 B．4 C．6 D．1.5

(3)(2021·西藏拉萨市·拉萨中学高二月考(文))已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为()

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】(1)A(2)B(3)C

【解析】(1)依题意得椭圆：焦点在轴，且，，

因为，所以，即，

又，，所以，故选：A．

(2)设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义，故，

中,是的中点，是的中点，故是中位线，

.故选：B.

(3)由题，，则，

所以(当且仅当时，等号成立)．故选：C．

【一隅三反】

1．(2021·宁夏吴忠中学高二月考(文))平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和，且为常数)成立是定值．

若动点到两定点的距离之和，且为常数)，当，此时的轨迹不是椭圆．甲是乙的必要不充分条件．故选：．

2．(2021·山西省长治市第二中学校)已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为()

A．9 B．7 C．5 D．3

【答案】A

【解析】由椭圆定义知，点P到另一个焦点的距离为2×6-3=9.故选：A

3．(2021·六安市裕安区新安中学)已知P椭圆上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为()

A． B．4 C． D．8

【答案】D

【解析】根据椭圆方程可得，所以P到该椭圆两焦点的距离之和为.故选：D.

4．(2021·海原县第一中学)若椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为()

A．2 B．5 C．7 D．22

【答案】C

【解析】设椭圆的左右焦点分别为，

因为椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，不妨设，

由椭圆的定义，可得，解得.故选：C.

5．(2021·乾安县第七中学)已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为，

因为的中点为，的中点为，所以，

又由，可得.故选：B.

6．(2021·广西浦北中学)下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；

②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；

③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.

【答案】②

【解析】①中，因为，可得，因为，所以点的轨迹不存在；

②中，因为，所以点P的轨迹是线段；

③中，由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，即.

故答案为：②

考点二椭圆定义的应用

【例2】(1)(2021·四川泸县五中)已知点是椭圆:上第一象限的一点，，分别是圆和上的点，则的最小值为()

A．6 B．7 C．8 D．9

(2)(人教A版选择性必修第一册))已知△的顶点?在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为()

A． B．

C． D．

(3)(2021·广西)已知是椭圆上一点，为椭圆的两焦点，且，则面积为

A． B． C． D．

【答案】(1)B(2)D(3)A

【解析】(1)点是椭圆:上第一象限的一点，则点在两圆的外部，

由题可得两圆圆心坐标是，恰是椭圆的两个焦点，设，

，两圆的半径为2，1，

所以.故选：B

(2)由椭圆方程知：，又，，

∴△的周长为，故选：D.

(3)由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，

∴c＝4，

设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，

所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，

在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，

所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝(2c)2＝64，

整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②

把①两边平方得t12+t22+2t1?t2＝1