高考数学(简单版)-1几何证明选讲 - 简单难度 - 讲义 (2).pdf

几何证明选讲

知识讲解

一、相似三角形的判定及有关性质

1.平行线等分线段定理

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

2.平行线分线段成比例定理

定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

3.相似三角形的判定及性质

1）相似三角形的判定

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值

叫做相似比(或相似系数)．

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与

原三角形相似．

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应

相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比

例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应_成比例且夹角相等，两三

角形相似．

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应

成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

2）两个直角三角形相似的判定

定理：①如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似．

②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．

③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角

边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

3）相似三角形的性质

性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

②相似三角形周长的比等于相似比；

③相似三角形面积的比等于相似比的平方；

④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)

的面积比等于相似比的平方

4.直角三角形的射影定理

定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在

斜边上射影与斜边的比例中项．

二、直线与圆的位置关系

1.圆周角定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

2.圆内接四边形的性质与判定定理

1）性质

定理1：圆的内接四边形的对角互补．

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．

2）判定

判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

3.三角形的内切圆

1）三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三

角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2）多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆

的外切多边形．

3）直角三角形内切圆的半径与三边的关系

A

A

A

D

cb

bcOF

BaCCaBBEC

设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为s，

abc△ABC