新教材同步备课2024春高中数学全书要点速记教师用书新人教A版选择性必修第三册.docVIP

第六章计数原理

要点1两个计数原理

分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法

分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法

要点2排列与组合

项目

排列

组合

概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

相同点

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

项目

排列数

组合数

符号

A

C

公式

Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n-m！

Cnm＝A

＝n

性质

性质1：Anm＝

性质2：Anm

性质1：Cnm＝

性质2：Cn+1

要点3二项式定理

二项式定理

(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnka

通项公式

展开式中的第k＋1项Tk＋1＝Cnkan－k

二项式系数

各项的系数Cnk(k＝0，1，2，…，n)

二项式系数的性质

(1)对称性：Cnm＝

(2)增减性：当kn+12时，Cnk随k的增加而增大；当kn

(3)最大值：当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn

(4)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n

第七章随机变量及其分布

要点1条件概率与全概率公式

条件概率

的计算公式

P(B|A)＝P

乘法

公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．此式称为概率的乘法公式

全概率

公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝

i

要点2离散型随机变量的分布列及其数字特征

定义

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．分布列的另外两种表示方法如下．

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

性质

(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；

(2)p1＋p2＋…＋pn＝1

均值

E

方差

D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝

i

方差公式的变形：D(X)＝E(X2)－(E(X))2

线性关系下的均值与方差

若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)

要点3常见分布

1．两点分布

定义

若随机变量X的分布列如下表所示，

X

0

1

P

1－p

p

则称随机变量X服从两点分布或0—1分布

均值

E(X)＝p

方差

D(X)＝p(1－p)

2．二项分布

定义

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布

记法

X～B(n，p)

均值

E(X)＝np

方差

D(X)＝np(1－p)

3．超几何分布

定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布

分布列

如果X服从参数为N，n，M的超几何分布，且n－N＋M≤0，则X能取所有不大于r的自然数，此时X的分布列如下表所示．

X

0

1

…

k

…

r

P

C

C

…

C

…

C

均值

E(X)＝nM

4．正态分布

正态

曲线

我们称f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2，x∈

图示

特点

由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点：

(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(2)曲线在x＝μ处达到峰值1σ

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(4)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线与x轴之间的区域的面积为1

正态

分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2，x

记法

X～N(μ，σ2)

均值

E(X)＝μ

方差

D(X)＝σ2

值四个概率

如果X～N(μ，σ2)，那么

P