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中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理

导言：本文将介绍中国古代最完美和最值得骄傲的数学成果“中

国剩余定理”，希望能有更多的读者和学生能重视我们国家的传统文

化，并通过对中国剩余定理的了解和学习喜欢上数论。

在中外几乎每一本基础数论的教课书中，都会介绍一个被称之为

“中国剩余定理”（ChineseRemainderTheorem）的知识。在我的

印象里，自己是在小学四五年级的时候接触到这个知识的，并知道如

何去应用它，但要等到初中后才真正明白其原理。中国剩余定理是中

国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果，它是中国对世界数学思

想史的重要贡献。但很遗憾，现在的孩子大部分都已经不学这部分知

识。距我当年学习这部分内容已经近三十年了，我不知道我们的数学

教育到底出了什么问题。

那么，今天我们就来了解和学习一下这个数论中的著名定理“中

国剩余定理”。

第一部分：问题的起源

中国剩余定理起源于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，

因此又名“孙子剩余定理”。

《孙子算经》，中国南北朝数学著作，《算经十书》之一。全书

共分三卷：上卷详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法；中

卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，

大致都在《九章》中论述的范围之内；下卷对后世的影响最为深远，

如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤

龟算”。下卷第26题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，

被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一，称为“中国剩余定

理”。经考证，《孙子算经》的作者与《孙子兵法》的孙武并非同一

人。

“中国剩余定理”在古代有“韩信点兵”、“鬼谷算”、“求一

术”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”、

“孙子定理”之名，是数论中主要命题，它不仅在抽象代数理论中有

相应的推广，也被应用到密码学、哥德尔不完全性定理的证明、快速

傅里叶变换理论等。

首先，引述《孙子算经》中“物不知数”的原文：

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，

问物几何？

答曰：二十三。

术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；

数之剩三，置三十。并之得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡

三三数之剩一，则置十，五五数之剩一，则置二十一，数之剩一，则

置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。

用数论中的同余式表达就是：

在这里，a≡b（modn）的形式表示a和b除以n的余数相同，

或者说a－b可被n整除，我们称之为“a、b关于模n同余”。同余

符号“≡”为德国数学家高斯所发明并首先使用。

《孙子算经》简要给出了该问题的解法和答案，首先将该问题用

算式求解即可表示为：

70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23。

鉴于《孙子算经》对于这类问题的讨论存在没有总结成文以及未

推及到一般情况的缺陷，因此也并没有达到理论的高度。南宋数学家

秦九韶在1247年完成的《数书九章》中推广了“孙子定理”形成“中

国剩余定理”。在《数书九章》中，秦九韶系统叙述了“大衍求一术”

来归纳求解一次同余组的计算步骤，并提出了乘率、定数、衍母和衍

数等一系列数学概念。至此，“物不知数”所引出的一次同余式组问

题才真正得到了一般的解法，上升到中国剩余定理的高度。

《数书九章》又名《数学九章》，全书共十八卷，分为九类，每

类九问，共九九八十一问，由南宋数学家秦九韶著于淳祐七年（1247

年）。《数书九章》题材广泛，取自宋代社会各方面，包括农业、天

文、水利、城市布局、建筑工程、测量、赋税、兵器、军旅等方面，

是一部实用数学大全。

1275年，杨辉的《续古摘奇算法》包了五个不同的同余问题，在

此例子之后又附四例。同时，剩余问题也出现在阿拉伯数学家伊本·塔

希尔（IbnTahir）和伊本·海什木（lbnal-Haytham）的著作中。意大

利数学家斐波那契写于1202年的《计算之书》（LiberAbaci）中的

剩余问题，使用了跟《孙子算经》中一样的模和法则。从此，剩余问

题成为欧洲数学家论著中常见的主题。

明代程大位编撰的《算法统宗》用歌谣的形式给出了物不知数问

题的解：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝。

七子团圆