北京市海淀区首都师大附中2024届高三上学期12月阶段检测数学试题（原卷版）.docxVIP

首都师大附中2023-2024学年第一学期阶段检测

高三数学

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1.若复数满足，则（）

AB.C.D.

2.设平面向量，若，则等于（）

A.1B.C.4D.

3.设集合，集合，，则（）

A.B.

C.D.

4.一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（）

AB.C.D.

5.二项式的展开式中的常数项为（）

A.1792B.－1792C.1120D.－1120

6.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（）

A.5立方丈B.20立方丈C.40立方丈D.80立方丈

7.已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（）

A.1B.C.D.3

9.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（）

A.B.C.D.

10.下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．

则下列命题中正确的是（）

A.B.奇函数

C.在其定义域上单调递增D.的图象关于轴对称

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.函数的定义域为____________．

12.已知直线和平面.给出下列三个论断：①∥；②∥；③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.

13.某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按，，，分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则________；这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有______辆.

14.设函数，

①若，则不等式的解集为___________；

②若，且不等式的解集中恰有一个正整数，则的取值范围是___________．

15.如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论：

①三棱锥的体积为定值；

②存在点使得平面；

③的最小值为；

④对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面；

⑤是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为．

其中正确的命题的序号是________．

三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值？若不存在，说明理由.

17.人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：

“一”与其后面一个字（或标点）搭配情况

频数

“一个”

6

“一些”

4

“一穷”

2

“一条”

2

其他

假设用频率估计概率.

（1）求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；

（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现次数为，求的分布列和期望；

（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）

18.在△中，，.

（1）求证：△为等腰三角形；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值.

条件①：；