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第十六讲数论综合提高二
本讲知识点汇总:
一、约数、倍数
1.基本概念
(1)abbaab
如果能被整除(也就是b|a),则是的约数(因数),是的倍数;
(2)约数具有“配对”性质:大约数对应小约数.
2.约数个数
(1)1
分解质因数,指数加再相乘;
(2)平方数有奇数个约数,非平方数有偶数个约数.
3.约数和公式
223
(1)如果一个数的质因数分解式为a2b3,则约数和为1aa1bbb;
(2)如果一个数的质因数分解式为abc2,则约数和为
2
1a1b1cc;
二、公约数、公倍数
1.基本概念
(1)aa
如果是若干个数公有的约数,则称是它们的公约数,其中最大的叫做最大
公约数;
(2)bb
如果是若干个数公有的倍数,则称是它们的公倍数,其中最小的叫做最小
公倍数;
(3)公约数是最大公约数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数.
2.计算方法
(1)短除法;
(2)分解质因数法;
(3)辗转相除法(只用于计算两个数的最大公约数).
3.基本性质
(1)aba,ba,b;
(2)两个数的最大公约数是它们和或差的约数;
(3)已知两个未知数的最大公约数,可利用最大公约数把这两个数表示出来:
55a5bab
例如,甲、乙的最大公约数是,则可以把甲乙分别设为和,其中、
互质,此时甲乙的最小公倍数是5ab.
4.两个最简分数的最大公约数、最小公倍数:
aca,caca,c
,;,
bdb,dbdb,d
经典题型
一、约数、倍数
1.约数的配对思想;
2.约数个数与完全平方数的关系;
3.求约数个数;
4.求约数的和;
5.利用约数个数反推原数的质因数分解形式.
二、公约数、公倍数
1.基本计算;
2.带有应用题背景的公约数公倍数计算;
3.有关最大公约数和最小公倍数的反求问题;
4.最大公约数、最小公倍数的质因数的分配.
例1.庆祝高思学校4周岁的生日,预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活
动,由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵,开始都面朝东方站立,第一次所
有编号是1的倍数的向左转,第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转,第三次编
号是3的倍数的小朋友再向左转,……,最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向
左转,最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方?
「分析」首先分析出转几次的人会面
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