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例5*§2可逆矩阵与逆矩阵*第二章矩阵§2可逆矩阵与逆矩阵§1矩阵的概念与运算§4初等矩阵、矩阵的秩§3分块矩阵、矩阵的初等变换一、可逆矩阵、逆矩阵的概念二、可逆条件、逆矩阵的求法三、逆矩阵的性质一、可逆矩阵、逆矩阵的概念定义1设A为n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵.注:①(唯一性)可逆矩阵A的逆矩阵唯一,记作③单位矩阵E可逆,且②可逆矩阵A的逆矩阵也可逆,且二、可逆条件、逆矩阵的求法定义21、伴随矩阵称为A的伴随矩阵.引理:余子式,矩阵设是矩阵中元素的代数证:由行列式按一行(列)展开公式立即可得,同理,且A可逆时,证:若由所以,A可逆,且两边取行列式,得2、定理:矩阵A可逆的充要条件是得反过来,若A可逆,则有则A,B皆为可逆矩阵,且证:由定理知,A、B皆为可逆矩阵.从而再由即有,推论:设A,B为n级方阵,若例1判断矩阵A是否可逆,若可逆,求其逆.解:1)∴A可逆.再由有∴当时,A可逆.且由于设方阵A满足证明:与皆可逆,并求其逆.例2由即故A可逆,且再由得即故可逆,且证:得结论1设A,B都是n阶矩阵,则结论2(1)可逆非退化非奇异(2)不可逆退化奇异.(1)可逆均可逆.(2)不可逆至少有一个不可逆.①矩阵方程若A为可逆矩阵,则3、矩阵方程②矩阵方程若A为可逆矩阵,则③矩阵方程若A,B皆可逆,则例3解矩阵方程解:一般地,可逆.注:例4已知求矩阵B.解:由,得,又可逆,且求矩阵X使满足AXB=C.解*§2可逆矩阵与逆矩阵*
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