三章导数应用.pdf

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1ax2−ax1

解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=-2-1+=-2.

xxx

(i)若a≤2,则f(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时,f(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减.

a−a2−4aa2−4

(ii)若a2,令f(x)=0,得x=或x=.

22

a−a2−4aa2−4

当x∈∪时,f(x)0;

0,22,



a−a2−4a2

当x∈,时,f(x)0.

2

a−a2−4aa2−4a−a2−4a2

所以f(x)在0,,,单调递减,在,单调递增.

222



(2)由(1)知,当且仅当a2时f(x)存在两个极值点.

2

由于f(x)的两个极值点x,x满足x-ax+1=0,

12

所以xx=1,不妨设xx,则x1,

12122

f(x)−f(x)1lnx−lnxlnx−lnx−2lnx2

由于12=--1+a12=-2+a12=-2+a1,

x−xxxx−xx−x−x

121212122

x2

f(x)−f(x)1

所以12a-2等价于-x+2lnx0.

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