2010年全国研究生数学建模竞赛优秀论文选-附件2：流动的力学相似资料二.doc

流动的力学相似

相似性质是指彼此相似的现象具有什么性质；相似条件是指满足什么条件，一些现象才彼此相似。只有在几何相似的基础上，才能实现两个流动现象的力学相似。下面分别讨论如下，并以上标“＇”表示模型的有关量。

一、几何相似

几何相似是指模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常数。

（4-1）

长度比例尺的线性长度可以是机翼（或叶轮机的叶片）截面形状——翼型（或叶型）的弦长b（见图）、圆柱的直径d、管道的长度L、管壁绝对粗糙度ε等，并称它们为特性长度。

面积比例尺（4-2）

体积比例尺（4-3）

式中为长度比例尺（相似比例常数），只有满足上述条件，流动才能几何相似。

二、运动相似

满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似（如图）。

速度场相似

时间比例尺（4-4）

速度比例尺（4-5）

加速度比例尺（4-6）

体积流量比例尺（4-7）

运动粘度比例尺（4-8）

如上所述，若模型与原型的长度比例尺和速度比例尺确定，则由它们确定所有运动学量的比例尺。

三、动力相似

两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似（如图）。

动力相似

力的比例尺为（4-9）

又由牛顿定律可知：（4-10）

其中：为流体的密度比例尺。

在流体力学的模型实验中，经常选取长度，速度和密度作为独立的基本量，即选取作基本比例尺，于是可以导出用和表示的有关动力学量的比例尺如下：

力矩（功，能）比例尺（4-11）

压强（应力）比例尺（4-12）

功率比例尺（4-13）

动力粘度比例尺（4-14）

在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则，称之为相似准则（或相似律）。对于任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律。对模型与原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并按动力相似时各类力大小的比例相等，可得式（4-10）

即（4-15）

或4-16）

令4-17）

称为牛顿数，它是作用力与惯性力的比值。当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即；反之亦然。这就是牛顿相似准则。

流场中的有各种性质的力，但不论是哪种力，只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。

一、重力相似准则（弗劳德准则）

处于重力场中的两个相似流场，重力必然相似。作用在流体微团上的重力之比可以表示为

式中：为重力加速度比例尺。将上式代入式（4-15），得

（4-18）

或（4-19）

令(4-20）

称为弗劳德（Froude）数，其物理意义为惯性力与重力的比值。两种流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定相等，即；反之亦然。这就是重力相似准则，又称弗劳德准则。在重力场中，则有

a）

二、粘性力相似准则（雷诺准则）

粘性力作用下的两个相似流场，其粘性力必然相似。作用在二流场流体微团上的粘性力之比可表示为

代入式（4-15），得?（4-21）

或（4-22）

令?（4-23）

称为雷诺（Reynolds）数，其物理意义为惯性力与粘性力的比值。两种流动的粘性力作用相似，它们的雷诺数必定相等，即；反之亦然。这就是粘性力相似准则，又称雷诺准则。当模型与原型用同一种流体时，故有

?（b）

三、压力相似准则（欧拉准则）

压力作用下的两个相似流场，其压力必然相似。作用在二流场流体微团上的总压力之比可以表示为

代入式（4-15），得

（4-24）

或??（4-25）

令??（4-26）

称为欧拉（Euler）数，其物理意义为总压力与惯性力的比值。两种流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，即；反之亦然。这就是压力相似准则，又称欧拉准则。当欧拉数中的压强p用压差来代替，这时

欧拉数??4-27）

欧拉相似准则??4-28）

四、弹性力相似准则(柯西准则)

弹性力作用下的两个相似流场，其弹性力必然相似。作用在二流场流体微团上的弹性力之比可以表示为

式中为体积模量，为体积模量比例尺。将上式代入式（4-15），得

?（4-29）

或??4-30）

令??4-31）

称为柯西（Cauchy）数，其物理意义为惯性力与弹性力的比值。两种流动的弹性力作用相似，它们的柯西数必定相等，即；反之亦然。这就是弹性力相似准则，又称柯西准则。

若流场中的流体为气体，由于（为声速），故弹性力的比例尺又可表示为，代入式（4-15），得

??（4-32）

或??（4-33）

令??（4-34）

?