第4章 4.3 4.3.2　性检验-【新教材】人教B版（）高中数学选择性必修第二册讲义.docVIP

专注：心无旁骛，万事可破

专注：心无旁骛，万事可破

PAGE/NUMPAGES

专注：心无旁骛，万事可破

4.3.2

学习目标

核心素养

1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．(重点)

2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．(难点)

1．通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养．

2．借助χ2计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养.

一则“双黄连口服液可抑制新冠病毒”消息热传后，引起部分市民抢购．人民日报官微称，抑制不等于预防和治疗，勿自行服用．上海专家称是否有效还在研究中．

问题：如何判断其有效？如何收集数据？收集哪些数据？

1．2×2列联表

(1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式．

A

eq\o(A,\s\up6(－))

总计

B

a

b

a＋b

eq\o(B,\s\up8(－))

c

d

c＋d

总计

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．

(2)χ2计算公式：χ2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.

2．独立性检验

任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05,0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量． ()

(2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响． ()

(3)应用独立性检验对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的． ()

[答案](1)√(2)×(3)×

2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”()

A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710

C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014

D[∵5.0143.841，故D正确．]

3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个变量之间有关系．

5%[查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为两个变量之间有关系．]

4．(一题两空)下面是2×2列联表．

y1

y2

合计

x1

a

21

73

x2

2

25

27

合计

b

46

100

则表中a＝________，b＝________.

5254[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.]

由χ2进行独立性检验

【例1】在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用.

未感冒

感冒

合计

使用血清

258

242

500

未使用血清

216

284

500

合计

474

526

1000

[思路点拨]独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．

[解]假设感冒与是否使用该种血清没有关系．

由列联表中的数据，求得

χ2＝eq\f(1000×?258×284－242×216?2,474×526×500×500)≈7.075.

χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，

故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．

独立性检验的具体做法

1．根据实际问题的需要确定允许推断“事件A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k.

2．利用公式χ2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)计算随机变量χ2.

3．如果χ2≥k推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”．

eq\o([跟进训练])

1．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：

患胃病

未患胃病

合计

生活不规律

60

260

320

生活有规律

20

200

220

合计

80

460

540