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非线性期望理论及金融市场不确定性

本文主要研究了非线性期望理论及金融市场中的不确定性问题。文章共有四章,前两章主要是理论性研究,第一章深入研究了非线性期望乘积空间理论,研究了非线性期望下乘积空间的正则性问题以及非线性期望下独立增量过程的乘积空间问题,是对非线性期望理论的完善和补充。

第二章研究了倒向随机微分方程最优控制问题及资产定价问题。后两章主要是应用性研究,深入研究了金融市场中的不确定性及非线性期望在金融市场中的应用。

第三章介绍了非线性期望资产定价理论,并利用非线性期望理论改进了目前国际上最通用的SPAN保证金系统,改进SPAN计算原理,得到了均值-方差不确定性下的SPAN保证金系统,可以更为快捷、准确、稳健的度量风险。并用SP500指数期权数据进行了实证检验。

第四章深入探讨了金融市场中的不确定性,说明了金融数据的分布不确定性和描述参数不确定性在金融市场中客观存在。深入研究了均值不确定性和方差不确定性在金融市场中的具体表现、估计方法,并利用均值不确定性构建了投资策略。

各章节主要内容如下:(一)非线性期望下的乘积空间本章研究非线性期望下的乘积空间理论,主要针对非线性(resp.次线性)期望下乘积空间的正则性及独立增量过程的乘积空间问题进行深入探讨,完善了非线性期望乘积空间理论并弥补了之前理论中的不足。本章的结果主要出自:GaoQ,HuM,JiX,LiuG.Productspacefortwoprocesseswithindepen-dentincrementsundernonlinearexpectations.ElectronicCommunicationsinProbability22(2017).本章主

要有以下两部分内容:1.非线性(resp.次线性)期望下乘积空间的正则性:正则性是概率论中很重要的概念,一般情况下,次线性期望空间并不满足正则性,而G期望空间满足正则性([2]),彭实戈院士在[10]中给出了乘积空间的定义,但是在定义中并未提及正则性,因此一个自然而然的问题就是,对于给定的正则次线性期望空间,其乘积空间是否依然满足正则性。

为解决这个问题,首先研究两个正则次线性期望乘积空间的正则性,通过将经典的有限乘积概率空间构造推广到次线性期望情形,可以得知两个正则次线性期望空间的乘积空间仍保持正则性,并进一步推广到有限维的情形,得到如下结论:给定有限个正则次线性期望空间(Ωi,Hi,(?)_i),i=1,2,...n,则其乘积空间()也是正则次线性期望空间。再通过反证法,可将结论推广到可列次线性期望空间。

进一步研究次线性期望下完备乘积空间是否保持正则性,这种情况下问题较为复杂,本文在完备可分的距离空间下,证明了概率表示族是弱紧的及随机变量的逼近性质,最终得到了次线性期望下的完备乘积空间仍保持正则性,整体思路如下:给定正则次线性期望空间(Ωi,Hi,(?)_i),i=1,2,...,n其乘积空间记为

(),记()为()的完备化空间。则可以证明()也是正则次线性期望空间,)且存在()上的一族弱紧概率族Pi使得由此可给出有限个正则次线性期望空间的完备乘积空间问题的证明。

基于有限个情形的结论和随机变量的逼近性质,进一步可得如下结论:给定一列正则次线性期望空间(Ωi,Hi,(?)_i),i≥1,其中(Ωi,ρi为完备可分距离空间,Hi=Cb.Lip(Ωi)。记Ω=,则(Ω,L’(Ω),E为正则次线性期望空间,且满足Cb(Ω)(?)L’(Ω),其中(Ω,L’/(Ω),1)为(Ω,H,E)的完备化空间。

2.非线性(resp.次线性)期望下独立增量过程的乘积空间接下来研究非线性(resp.次线性)期望空间中独立增量过程的乘积空间问题,即对于给定的两个d-维独立增量过程,是否存在一个非线性期望空间,及一个定义在空间上的2d-维的独立增量过程,使得其前d-维与后d-维过程分别同分布于先前给定的两个独立增量过程。这是彭院士[10]中的乘积空间方法无法解决的。

本文通过离散化的方法,利用胎紧的性质,提出一种全新的构建思路,研究有限维、可列维和不可列维独立增量过程的乘积空间问题。有限维独立增量过程的乘积空间的主要定理如下:定理0.1.令(Mt)t≥0和(Nt)t≥0是两个分别定义在非线性(resp.次线性)空间(Ω1,H1,E1)和(Ω2,H2,E2)上的d-维独立增量过程,满足假设(A)。

则存在定义在非线性(resp.次线性)空间(Ω,H,E)上的2d-维独立增量过程(Mt,Nt)t≥0满足:(?)进一步,如果(Mt)t≥0和(Nt)t≥0是两个平稳独立增量过程,则(Mt,Nt)t≥0也是一个平稳独立增量过程。非线性情形与