分数裂项计算.docx

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分数裂项计算

教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

教学目标

知识点拨本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1 形式的，这里我们把较小的数写在

a?b

前面，即a?b，那么有 1

? 1 (1?1)

a?b b?a a b

对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1 ， 1

形式的，我们有：

n?(n?1)?(n?2) n?(n?1)?(n?2)?(n?3)

1 ?1[ 1 ? 1 ]

n?(n?1)?(n?2) 2n?(n?1) (n?1)(n?2)

1 ?1[ 1 ? 1 ]

n?(n?1)?(n?2)?(n?3) 3n?(n?1)?(n?2) (n?1)?(n?2)?(n?3)

裂差型裂项的三大关键特征：

分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）a?b? a ? b ?1?1 （2）a2?b2?

a2 b2 a b

? ? ?

a?b a?b a?b b a

裂和型运算与裂差型运算的对比：

a?b a?b a?b b a

例题精讲裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

例题精讲

【例1】

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 。

1?2 2?3 3?4 4?5 5?6

【巩固】 1 ?

1 ?......? 1

10?11 11?12 59?60

【例2】 1 ? 1 ?

1 ?L? 1 ?

1?3 3?5 5?7 99?101

?【巩固】计算：25?? 1 ? 1 ?

?

1 ?L?

1 ??

?1?3 3?5 5?7 23?25?

【例3】1?

1 ? 1

?LL??1

1 1?2 1?2?3 1?2?L?100

【例4】计算：(1?1?1?

1? 1 ?

1 ? 1 ?

1)?128?

8 24 48 80 120 168 224 288

【巩固】1?

1?1?1?

1?1?1?

1?

?6 12 20 30 42 56 72 90

?

【例5】计算： 1 ? 1 ?

1 1

?L?

1?3?5 3?5?7 5?7?9 2001?2003?2005

【例6】计算：20081

1

?2009

1

?2010

1

?2011

?2012

1 = 。

18 54 108 180 270

【巩固】计算：11?21?31?41

1

?L?20

2 6 12 20 420