分数的裂项与巧算.docx

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学生：杨思琪

六年级数学科导学案

课题名称

课题名称 分数的裂项与巧算

时间

2013年3月日

课型

新授

课时

3

主备人

刘再稳 审核人

教学目标：1本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程。

学会观察、改造、运用公式等过程。

需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算。

教学重点：列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，教学难点：学会找规律，发现数字规律。

知识点：

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1 形式的，这里我们把较小

a?b

的数写在前面，即a?b，那么有 1 ?

1 (1?1)

a?b b?a a b

裂差型裂项的三大关键特征：

分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）a?b? a ? b ?1?1（2）a2?b2? a2 ?

b2 a b

? ?

a?b a?b a?b b a

裂和型运算与裂差型运算的对比：

a?b a?b a?b b a

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【典型例题讲练】

重点例题：

— 用裂项法求

1 型分数求和

n(n?1)

1 1 ? 1

?? 1

10?11 11?12 59?60

21 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1

1?2 2?3 3?4 4?5 5?6 6?7 7?8

3 11?21?31?41?51?61?71?81

6 12 20 30 42 56 72 90

4 1?

5?11?19

???89

2 6 12 20 90

5 1?1?7?

9?11?13

?15

?17

3 12 20 30 42 56 72

6 1?5?

7?9

?11?13

?15

?17

?19

?21?23

6 12 20 30 42 56 72 90 110 132

二 用裂项法求 1

n(n?k)

型分数求和：

1

分析：n(n?k)型。（n,k均为自然数）因为

1 1 1 1 n?k n 1

1 ?1(1? 1 )

( ? )? [ ? ]? 所以n(n?k) k n n?k

k n n?k k n(n?k) n(n?k) n(n?k)

例1 1

? 1 ? 1 ? 1 ? 1

? 1 ? 1

2?5 5?8 8?11 11?14 14?17 14?17 17?20

例2 3 ? 3 ? 3 ?

3 ? 3 ? 3 ? 3

1?4 4?7 7?10 10?13 13?16 16?19 19?22

例3 3 ?

5 ? 7 ? 9

? 11

? 13

1?2 2?3 3?4 4?5 5?6 6?7

例4 (1?1?

1?1? 1 ? 1 ? 1 ?

1)?128?

8 24 48 80 120 168 224 288

例5 1＋1

1 1 1

＋ ＋ ＋

4 28 70 130 208

1 7 9 11 13 15

例6 13－12＋20－30＋42－56

例7 1＋1＋1＋1＋1＋1

2 4 8 16 32 64

课堂练习：（满分100分，测试时间25分钟，卷面分3分）

2 2 2 2

1．1?3?3?5?5?7???99?101

2． 2 ? 2 ? 2 ??? 2

11?13