专题10 数列不等式的放缩问题 （练习）（解析版）.docx

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专题10数列不等式的放缩问题

目录

01先求和后放缩 1

02裂项放缩 5

03等比放缩 9

04型不等式的证明 11

05型不等式的证明 20

06型不等式的证明 24

07型不等式的证明 32

01先求和后放缩

1．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，且______请在是公差为的等差数列；是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

(1)求的通项公式

(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列的前项和，证明：

【解析】（1）若选：当时，，所以，

故，因为

所以，

则时，

累加得，故，

当时，满足上式，故.

若选，数列是公差为的等差数列，首项为，

故，则，

两式相减得，则，

则，即，

当时，满足上式，故.

若选，数列是公比为的等比数列，首项为，

故，则时，

累加得，故，

当时，满足上式，故.

（2）证明：由于，所以

所以，

故，

，得

，

即.

2．（2023·吉林白城·高三校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，证明：.

【解析】（1）设的公差为，因为成等比数列，所以，

即，因为，所以，

又，所以，

所以，

所以.

（2）由（1）得，，

所以，

所以

，

又，所以.

3．（2023·天津·高三校联考期中）已知数列的前n项和，数列满足：，．

(1)证明：是等比数列；

(2)设数列的前项和为，且，求

(3)设数列满足：．证明：．

【解析】（1）由，得，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列，即．

（2）当时，有，当时，，

显然也满足，故，结合，所以=，

故.

（3）当n为奇数时，，

,

当n为偶数时，,

，

设，则，

两式相减得，得，??????????????????????????

所以，所以，得证．

4．（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.

【解析】（1）因为，即，

当时，解得或（舍去），

当时，

所以，

即，即，

则，因为，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以数列的通项公式是

（2）由（1）可得，

所以，

，

所以

，

所以，

因为，所以.

02裂项放缩

5．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.

(1)求；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

【解析】（1）当时，，

即，

由数列为正项数列可知，，又，

即数列是首项为1，公差为1的等差数列，

即，则，

当时，，当时，成立，

所以

（2）由（1）可知，，则，

当时，

，成立，，成立，

当时，

，

即.

综上可知，，得证.

6．（2023·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.

(1)求，的通项公式；

(2)已知，求数列的前项和；

(3)求证：.

【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，得，所以，

由，.得，

所以，，故，所以.

（2）当是奇数时，，

当是偶数时，，

则①

②

①-②得：

即

化简得：.

所以.

（3），

当时，，

因为，所以；

当时，也成立.故.

7．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列满足，.

(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.

【解析】（1）数列成等比数列，证明如下：

根据得，

；

，，，即数列成等比数列.

（2）由（1）得，，，

故

，

由，得.

令，

当时，单调递增，且，

故，，，

，，

当时，

，

综上，知

8．（2023·河北唐山·模拟预测）已知和是公差相等的等差数列，且公差的首项，记为数列的前项和，．

(1)求和；

(2)若的前项和为，求证：．

【解析】（1）由已知得，即，解得，

故．

（2）由（1）得，

则

，得证．

03等比放缩

9．（2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，是与的等差中项．

(1)求的通项公式；

(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围．

(3)设，且数列的前项和为，求证：．

【解析】（1）是与的等差中项，；

当时，，又，；

当且时，，

，，

又，，

数列是以为首项，为公比的等比数列，，

.

（2）由（1）得：，

数列为递增数列，

；

①当为偶数时，，

设，，

数列为递减数列，

当时，，；

②当为奇数时，，

由①知：数列为递减数列