5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（解析版）_new.docxVIP

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5．4．2正弦函数、余弦函数的性质

【知识点梳理】

知识点一：周期函数

函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期．

知识点诠释：

1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期．

2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期．

知识点二：正弦函数性质

函数

正弦函数

定义域

值域

奇偶性

奇函数

周期性

最小正周期

单调区间

增区间

减区间

最值点

最大值点；最小值点

对称中心

对称轴

知识点诠释：

（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．

（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．

知识点三：正弦型函数的性质．

函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．

（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．

知识点诠释：

判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．

（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．

知识点四：余弦函数的性质

函数

余弦函数

定义域

值域

奇偶性

偶函数

周期性

最小正周期

单调区间

增区间

减区间

最值点

最大值点

最小值点

对称中心

对称轴

知识点诠释：

（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．

（2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．

知识点五：余弦型函数的性质．

函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．

（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．

（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．

知识点诠释：

判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．

若，则函数不一定有对称轴和对称中心．

【题型归纳目录】

题型一：正余弦函数的周期问题

题型二：正余弦函数的奇偶问题

题型三：正余弦函数的对称问题

题型四：正余弦函数的单调问题

题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题

题型六：比较大小

题型七：正余弦函数的最值与值域问题

题型八：正余弦函数的综合应用

【典型例题】

题型一：正余弦函数的周期问题

例1．（2022·全国·高一专题练习）的最小正周期是（?????）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】因为，

因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，

所以的最小正周期为.

故选：A.

例2．（2022·陕西汉中·高一期末）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的最小正周期是，的最小正周期是，