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全面典型的因式分解例题

典型例题一

例01选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）

（A） （B）

（C） （D）

分析本组题目用来判断分组是否适当.（A）的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；（B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确；（D）中两组也无公因式可提，故（D）不正确.

（C）中第一组可提取公因式2，剩下因式；第二组可提取，剩下因式，这样组间可提公因式，故（C）正确.

典型例题二

例02用分组分解法分解因式：

（1）；（2）.

分析本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.

解⑴

（合理分组）

、.

解法一

（学会分组的技巧）

解法二

说明根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！

典型例题四

例04分解因式：

分析本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.

解法一

解法二

说明本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度.

典型例题五

例05把下列各式分解因式：

（1）；

（2）；

（3）.

分析此组题项数较多，考虑用分组法来分解.

解法（1）

（2）

（3）

说明对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.

如⑴中，“交叉项”为，相应的平方项为、；⑵中，“交叉项”为，相应的平方项为、.

典型例题六

例06分解因式：

（1）；（2）.

分析本题两例属于型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.

解（1），，

（2），，

.

说明抓住符号变化的规律，直接运用规律.

典型例题七

例07分解因式：

（1）；

（2）.

分析对（1），利用整体思想，将看作一个字母，则运用型分解；对（2），将其看作关于的二次三项式，则一次项系数为，常数项为，仍可用型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.

解（1）

（2），，

.

典型例题八

例08分解因式：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷.

分析本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解.

解⑴法一：

（可继续分解，方法很简单：，对于方法类似，可以自己探索）

法二：

法三：

⑵

（看作型式子分解）

⑶

⑷

说明⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.

⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了型二次三项式的因式分解.将看做关于的二次三项式，.

⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法.

⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破.

但应注意：①不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如⑵小题中.

典型例题九

例09分解因式：

（1）；（2）

分析本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.

解⑴

（乘法运算，去括号）

（重新分组）

⑵

（乘法运算去括号）

（重新分组）

说明“先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.

典型例题十

例10 分解因式

分析因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法）”.即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.

解

说明当时，多项式值为0，因而是的一个因式，因此，可从“凑因子”的角度考虑，把6拆成，使分组可行，分解成功.

运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.

法二：

法三：

（凑立方项）

法四：

（与凑立方项）

（套用公式