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行列式的若干计算技巧与方法
内容摘要
行列式的性质
行列式计算的几种常见技巧和方法
定义法
利用行列式的性质
降阶法
升阶法(加边法)
数学归纳法
递推法
行列式计算的几种特殊技巧和方法
拆行(列)法
构造法
特征值法
几类特殊行列式的计算技巧和方法
三角形行列式
“爪”字型行列式
“么”字型行列式
“两线”型行列式
“三对角”型行列式
范德蒙德行列式
行列式的计算方法的综合运用
降阶法和递推法
逐行相加减和套用范德蒙德行列式
构造法和套用范德蒙德行列式
1.2行列式的性质
性质1 行列互换,行列式不变.即
a a ?
11 12
a a a ? a
1n 11 21 n1
a a ?
21 22
a a a ?
?2n 12 22
?
a
n2 .
? ? ?
a a ?
n1 n2
? ? ? ? ?
a a a ? a
nn 1n 2n nn
性质2 一个数乘行列式的一行(或列),等于用这个数乘此行列式.即
a a ? a
11 12 1n
a a ? a
11 12 1n
? ? ? ?
? ? ? ?
ka ka
i1 i2
? ka
in
? a
ki1
k
a ? a
i2 in .
? ? ? ?
? ? ? ?
a a
n1 n2
? a a
nn n1
a ? a
n2 nn
性质3 如果行列式的某一行(或列)是两组数的和,那么该行列式就等于两个行列式的和,且这两个行列式除去该行(或列)以外的各行(或列)全与原来行列式的对应的行(或列)一样.即
aaK
a
a
K
a
a
a
K
a
a
a
K
a
11
12
1n
11
12
1n
11
12
1n
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
c b?c K b?c ? b
b
K
b
?
c
c
K
c
M M M M M
M
M
M
M
M
M
M
a a K a a
n1 n2 nn n1
a
n2
K
a
nn
a
n1
a
n2
K
a
nn
1 1 2 2
n n 1 2
.
n 1 2 n
性质4 如果行列式中有两行(或列)对应元素相同或成比例,那么行列式为零.即
a a ? a
11 12 1n
a a ? a
11 12 1n
? ? ? ? ? ? ? ?
a a ? a a a ? a
i1 i2 in i1 i2 in
? ? ? ??k ? ? ? ?=0.
ka ka ? ka a a ? a
i1 i2 in i1 i2 in
? ? ? ? ? ? ? ?
a a ? a
n1 n2 nn
a a ? a
n1 n2 nn
性质5 把一行的倍数加到另一行,行列式不变.即
a a
11 12
? a a
1n 11
a ? a
12 1n
? ? ? ? ? ? ? ?
a ?ca
i1 k1
a ?ca
i2 k2
? a ?ca a
in kn i1
a ? a
i2 in
? ? ? ?
? ? ? ? ?.
a a
k1 k2
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kn k1
a ? a
k2 kn
? ?
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n1 n2
? ? ? ? ? ?
? a a a ? a
nn n1 n2 nn
性质6 对换行列式中两行的位置,行列式反号.即
a
11
?
a
12
?
?
?
a
1n
?
a
11
?
a
12
?
?
?
a
1n
?
a
a
?
a
a
a
?
a
i1?i2?
i1
?
i2
?
in
? ?
k1
?
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kn
ak
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k1
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a
k2
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?
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a =-
kn
?
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i1
?
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i2
?
?
?
a
in
?
a
n1
a
n2
?
a
nn
a
n1
a
n2
?
a
nn
性质7 行列式一行(或列)元素全为零,则行列式为零.即
a a
11 12
? a a
1,n-1 1n
? ? ? ?
0 0 ? 0
? ? ? ?
a a ? a
n1 n2 n,n-1
?
0 ?0.
?
a
nn
2、行列式的几种常见计算技巧和方法
定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.
000100
0
0
0
1
0
0
2
0
0
3
0
0
4
0
0
0
解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有4!?24项,但由于出现很多的零,所以不
jjjj等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是a a a a
j
j
j
j
1 2 3 4
1 2 3 4
.显然,如
果j ?4,那么a ?0,从而这个项就等于零.因此只须考虑j ?4的项,同理只须考虑
1 1j
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