陕西省商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第二次）数学（文科）试卷（含答案解析）.docx

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陕西省商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第二次）数学（文科）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（????）

A． B． C．1 D．0

3．一组数据：，则这组数据的方差为（????）

A．5.2 B．26 C．5 D．4.2

4．设向量，的夹角的余弦值为，，，则（????）

A． B．1 C． D．5

5．执行如图所示的程序框图，输出的值为（????）

A．70 B．112 C．168 D．240

6．设是等差数列的前项和，且，则（????）

A．34 B．30 C．26 D．22

7．已知偶函数在上单调递增，若，则（????）

A． B．

C． D．

8．已知，则（????）

A． B． C． D．

9．在平面直角坐标系中，扡物线的焦点为F，P是C上的一点，点M是y轴上的一点，且．则的面积为（????）

A． B． C． D．

10．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（????）

A．175 B．176 C．177 D．178

11．已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（????）

A． B． C． D．

12．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，设函数，则的单调递减区间是．

14．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则.

15．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则.

16．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺?鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速?盲拧?单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了，则该魔方的表面积增加了.

三、解答题

17．随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了两个参加国内学科竞赛的中学，从两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：

未获得区前三名及以上名次

获得区前三名及以上名次

中学

11

6

中学

34

9

(1)试判断是否有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？

(2)用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，求所选的3人中恰有2人来自中学的概率.

附：，其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

18．在中，内角的对边分别为，且.

(1)证明：是钝角三角形；

(2)平分，且交于点，若，求的周长.

19．如图，在多面体中，平面平面，四边形是矩形，四边形是边长为2的菱形，是侧棱上的一点，且.

(1)证明：；

(2)若为棱的中点，求点到平面的距离.

20．设，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)作直线与椭圆交于不同的两点，，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.

21．已知函数的导函数为.

(1)证明：函数有且只有一个极值点；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；

(2)在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，证明：.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.

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参考答案：

1．A

【分析】先求解两个一元二次不等式，再根据并集定义求解即得.

【详解】因为，，

所以．

故选:A．

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