离散数学概论 第2版 第四章 关系与函数.ppt

*函数定义定义设F为二元关系,若?x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数.对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x的值.例1F1={x1,y1,x2,y2,x3,y2}

F2={x1,y1,x1,y2}F1是函数,F2不是函数.*函数定义域与值域定义设f是一个从集合A到集合B的函数，则A是函数f的定义域。如果，则可写成y=f(x)，称y为x的像，x为y的原像。A中所有元素的像构成的集合，称为f的值域。*从A到B的函数定义设A,B为集合,如果f为函数domf=Aranf?B,则称f为从A到B的函数,记作f：A→B.实例f：N→N,f(x)=2x是从N到N的函数g：N→N,g(x)=2也是从N到N的函数*B上A函数定义所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“B上A”，符号化表示为

BA={f|f：A→B}计数：|A|=m,|B|=n,且m,n0,|BA|=nm.A=?,则BA=B?={?}.

A≠?且B=?,则BA=?A=?.

*实例例2设A={1,2,3},B={a,b},求BA.

解BA={f0,f1,…,f7},其中

f0={1,a,2,a,3,a},f1={1,a,2,a,3,b}

f2={1,a,2,b,3,a}，f3={1,a,2,b,3,b}

f4={1,b,2,a,3,a}，f5={1,b,2,a,3,b}

f6={1,b,2,b,3,a},f7={1,b,2,b,3,b}

*函数的性质定义设f：A→B,

（1）若ranf=B,则称f：A→B是满射的.

f满射意味着：?y?B,都存在x?A使得f(x)=y.f单射意味着：f(x1)=f(x2)?x1=x2（2）若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y,则称f：A→B是单射的.

（3）若f：A→B既是满射又是单射的,则称f：A→B是双射的*实例例4判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?

(1)f：R→R,f(x)=?x2+2x?1

(2)f：Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集

(3)f：R→Z,f(x)=?x?

(4)f：R→R,f(x)=2x+1

(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.?*解(1)f：R→R,f(x)=?x2+2x?1在x=1取得极大值0.既不单射也不满射.实例（续）(2)f：Z+→R,f(x)=lnx单调上升,是单射.但不满射,ranf={ln1,ln2,…}.(3)f：R→Z,f(x)=?x?满射,但不单射,例如f(1.5)=f(1.2)=1.

(4)f：R→R,f(x)=2x+1满射、单射、双射,因为它是单调的并且ranf=R.

(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2.该函数既不单射也不满射.

*构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例5A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}解A={?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={f0,f1,…,f7},其中

f0={1,0,2,0,3,0},f1={1,0,2,0,3,1},

f2={1,0,2,1,3,0},f3={1,0,2,1,3,1},

f4={1,1,2,0,3,0},f5={1,1,2,0,3,1},

f6={1,1,2,1,3,0},f7={1,1,2,1,3,1}.令