江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程培优课8抛物线焦点弦的性质及应用课件苏教版选择性必修第一册 (1).pptx

要点深化·核心知识提炼1题型分析·能力素养提升201要点深化·核心知识提炼知识点.抛物线焦点弦的常用性质?已知，是过抛物线焦点的弦的两端点，是的中点，是抛物线的准线，，垂足为.?（1）.?（2）.?（3）焦点弦长公式，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.焦点弦长公式（为直线与对称轴的夹角）.?（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.?（5）.（6）以为直径的圆必与准线相切.??（7）以或为直径的圆与轴相切.?（8）.?（9）设，为垂足，则，，三点在一条直线上.02题型分析·能力素养提升【题型一】抛物线焦点弦的性质证明?例1如图，是过抛物线焦点的一条弦.设，，的中点，相应的准线为.求证：?（1），；?证明设直线的方程为，代入，可得.因为，所以，，．?（2）弦长，其中为弦所在直线的倾斜角；当时，线段叫作抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的.如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足为,.由抛物线的定义可知，，所以．又，??当时，，；当时，，．综上，．又当时，取最大值，所以此时最短，即当时，弦是所有焦点弦中最短的．题后反思抛物线焦点弦的性质证明要注意两点（1）充分利用抛物线的定义；（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算，比如相似三角形的性质等.?跟踪训练1已知是过抛物线焦点的一条弦.设，，的中点为，相应的准线为.求证：（1）；??证明．（2）以为直径的圆必与准线相切.?如图，分别过点,,作准线的垂线，垂足为，，.在直角梯形中，，故圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆必与准线相切．?【题型二】抛物线焦点弦的性质应用角度1抛物线的焦点弦、焦半径例2（1）[2023淮安期末]已知为抛物线的焦点，过点且斜率为1的直线交于,两点.若，则()?DA.1 B.2 C.3 D.4?[解析]由题意知，的方程为，代入的方程，得.设，，则，.因为，，且，所以，整理,得，所以，结合，解得．故选D.（2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点.若，则的值为()?C?A. B.2 C. D.?[解析]如图，设，，，因为，所以点到准线的距离为3，所以，得.因为，所以，所以，得，所以的值为.故选C．题后反思有关直线与抛物线相交的焦半径（弦长）问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”.跟踪训练2过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，.若,直线的斜率为，则()?C?A. B. C.或 D.或?[解析]当点在轴上方时，如图，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，过点作于点.设，则，，所以，所以.?同理可得，当点在轴下方时，的值为.故选C.角度2抛物线焦点弦的面积问题?例3（1）[2023苏州期中]已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于,两点，过点,分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，.若与的面积之比为2，则的值为()D?A. B. C. D.?[解析]如图,由抛物线，得.设直线，，，由得，所以，.由已知和抛物线定义,知，则有，即，?所以解得，，．故选D．（2）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为()?AA.32 B.16 C.24 D.8[解析]因为，要使最小，而，由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1.又过抛物线的焦点，?所以直线的方程为.联立整