数1--01真题初步答案.doc

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题〔此题共5小题，每题3分，总分值15分，把答案填在题中横线上〕

(1).

【解】由通解知对应的特征根为从而特征方程为

于是所求方程为.

〔2〕

【解】根据定义有

于是

(3)

【解】因为

积分区域为又可将改写为

于是有

(4)

【解】由题设，

有

也即

故.

〔5〕

【解】根据切比雪夫不等式有

.

二、选择题〔此题共5小题，每题3分，共15分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.〕

〔1〕〔D〕

【解】从题设图形可见，在轴的左侧，曲线是

严格单调增加的，因此当时，一定有对应

图形必在轴的上方，由此可排除〔A〕，〔C〕；

又的图形在轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，

其导函数图形在轴一定有两个零点，进一步可排除〔B〕.

故正确答案为〔D〕.

〔2〕〔C〕

【解】题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除〔A〕；

至于〔B〕，〔C〕,(D)那么需要通过具体的计算才能进行区分，

令，那么有

因此过点的法向量为±{?3,?1,1}，可排除〔B〕；

曲线可表示为参数形式：其中点的切向量为

故正确选项为〔C〕.

〔3〕〔B〕

【解】方法1：因为

可见，假设在点可导，那么极限一定存在；反过来，假设存在，那么

存在，即在点可导，因此正确选项为〔B〕.

至于〔A〕，〔C〕,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比方，,在处不可导，但

均存在，可排除〔A〕、〔C〕.

又如在处不可导，但

存在，进一步可排除〔D〕.

〔4〕〔A〕

【解】方法1：因为是实对称矩阵，且其特征值为：故存在正交矩阵,使得

可见，那么既合同又相似.

方法2：是实对称矩阵，且故是的特征值，另一个特征值，由

即有特征值〔三重根〕，和对角阵的特征值完全一致，故相似且合同于.

(5)〔A〕

【解】，故.

答案应选〔A〕.

三、(此题总分值6分)

【解】

四、(此题总分值6分)

【解】由题设，有

五、(此题总分值8分)

【解】因

故

，

于是

，

上述级数显然在收敛于1，而，所以上述等式在处亦成立：

，

又在处右边级数收敛，左边连续，所以等式可扩大到.从而，

因此

六、(此题总分值7分)

【解】方法1：记为平面上所围成局部的上侧，为在坐标面上的投影.

由斯托克斯公式得

按第一型曲面积分的算法，将投影到，然后再将的方程代入，计算得

由于关于轴对称，所以，关于轴对称，，所以

方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面被所围成的局部为，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上，在平面上的投影域记为

.为于是

其中用的性质：为的奇函数，对称于轴；为的奇函数，对称于轴；积分均应为零.

方法3：降维法，取S如解法1中定义，代入中，

其中，为在平面上投影，逆时针.

方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法，由方法1，已有

用逐个投影法，例如计算

其中分别令,可得到的4条边界线的方程：

右：；上：；左：；下：.

于是

类似地，可计算

〔由奇、偶数及对称性〕

方法5：参数法.:,

当时，,从1到0.于是

当,,从0到-1

当,,从－1到0

当,，从0到1

所以

七、(此题总分值7分)

【解】方法1：〔1〕任给非零x∈(?1,1)，由拉格朗日中值定理得

因为f''(x)在(?1,1)内连续且f''(x)≠0,所以f''(x)在(?1,1)内不变号，不妨设那么f''(x)在(?1,1)内严格单调且增加，故唯一.

〔2〕对于非零x∈(?1,1)，由拉格朗日中值定理得

于是有

上式两边取极限，得

左端＝

右端＝

故

【解2】

〔1〕同【解1】.

〔2〕由泰勒公式得

在0与x之间

所以

从而

由于

故

八、【解】记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，那么

由题意知将上述和代入，得

解得

由h(0)=130,得

令h(t)→0得t=100〔小时〕.

因此高度为130厘米得雪堆全部融化所需要时间为100小时.

九、【解】由于为均为的线性组合，所以为均为Ax=0的解.下面证明线性无关.设

即

由于线性无