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从供求关系看合外力与向心力

朱欣

做圆周运动的物体速度方向时刻变化，它受到指向圆心的向心力的作用。由于惯性，物体总有沿着圆周切线飞出的倾向，这样就存在合外力与物体做圆周运动所需向心力之间的“供”与“求”的关系。

供求平衡––––匀速圆周运动

由于匀速圆周运动只是速度方向变化，而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体所受到的合外力就是向心力，合外力与向心力“供求平衡”。可见合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心是物体做匀速圆周运动的条件。

例1.中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一个中子星，观测

1

到它的自转周期为T?30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不

致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体，引力常量G?6.67?10?11N?m2/kg2。

（03年全国高考）分析：研究中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一

起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为?，质量为M，半径为R，自转角速度为?，位于赤道处的小块物体的质量为m，则有

Mm 2??4

G ?m?2R，?? ，M? ?R3?

R? T 3

由以上各式得??

3?

GT2

代入数据解得??1.27

?1014kg/m3

供不应求––––离心运动

如果合外力突然消失，或合外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力，即合外力“供不应求”，物体将会远离圆心，做离心运动。

例2.如图1所示，半径为R的光滑半球固定在水平面上，顶部有一小物体，现给小物

gRv体一个水平初速度 ?

gR

v

0

，则物体将（ ）

图1

沿球面滑至M点

按半径大于R的新圆弧轨道运动

立即离开球面做平抛运动

先沿球面滑至某点再离开球面做斜下抛运动

gR分析：在光滑半球的顶部，当v ?

gR

0

时，物体做圆周运动所需要的向心力

v2

F?m0 ?mgR

此时重力mg刚好提供向心力，物体与半球之间无相互作用力。

假设物体能沿球面下滑，因为重力势能转化为动能，物体速度增大，做圆周运动所需要的向心力也增大，而此时是由重力指向圆心方向的分力与半球对物体的弹力的合力（小于重力mg）提供向心力，“供不应求”，物体将做离心运动而离开球面，所以物体不可能沿球面下滑，而是立即离开球面做平抛运动，选项C正确。

例3.1995年美国的航天飞机成功地与俄罗斯“和平号”空间站对接。航天飞机为了追上轨道空间站，（）

可从较低轨道加速

可从较高轨道加速

只能从与空间站同一高度的轨道加速

无论从哪个轨道加速都可以

分析：航天飞机在较低轨道上运行时，它受到的万有引力正好提供它所需要的向心力。若航天飞机加速，则万有引力小于向心力，“供不应求”，航天飞机将做离心运动，升到较高轨道与空间站对接。若航天飞机从较高轨道加速或从与空间站同一高度的轨道加速，它将升到更高的轨道上，无法实现对接。故选项A正确。

供过于求––向–心运动

如果合外力大于物体做圆周运动所需的向心力，即合外力“供过于求”，物体将会靠近

圆心，做向心运动。

例4.如图2所示，光滑斜面连接光滑半圆形轨道，半圆形轨道半径为R，小球自斜面上距离轨道最低点h?2R的A点由静止释放，则（ ）

图2

小球机械能守恒，能到达半圆形轨道最高点B

小球到达最高点B后将自由落下

小球不能到达最高点B，而是沿半圆形轨道返回

小球不能到达最高点B，而是脱离轨道做斜抛运动

分析：因为h?2R，根据机械能守恒定律，若小球能到达最高点B，则其速度刚好为

v2

gR零。但由m0 ?mg得，小球能到达最高点B，它在最高点的速度至少为v ? 。因

gR

R 0

此小球不能到达最高点B，而是在轨道上某处，当合外力出现“供过于求”时，小球将脱离轨道做斜抛运动，故选项D正确。

例5.一个航天飞行器A在高空中绕地球做匀速圆周运动，如果它沿运动的相反方向发射一枚火箭B，则（）

A和B都可能在原高度绕地球做圆周运动

B可能在原高度绕地球做圆周运动，A不可能在原高度做圆周运动

A可能在原高度绕地球做圆周运动，B不可能在原高度做圆周运动

A和B都不可能在原高度绕地球做圆周运动

分析：航天飞行器A沿运动的相反方向发射一枚火箭B时，根据动量守恒，A的速度增大，由于万有引力小于向心力，A将做离心运动，所以A不可能在原高度做圆周运动。

而B的运动存在三种可能：若B的速度比A原来的速度大，B将做离心运动；若B的速度与A原来的速度大小相等，B将在原高度绕地球做圆