数值分析教教案10.doc

2.4复合求积公式

前面导出的误差估计式说明，用牛顿-柯特斯公式计算积分近似值时，步长越小，截断误差越小。但缩小步长等于增加节点，亦即提高插值多项式的次数，龙格现象说明，这样做并不一定能提高精度。理论上已经证明，当时，牛顿-柯特斯公式所求得的近似值不一定收敛于积分的准确值，而且随着的增大，牛顿-柯特斯公式是不稳定的。因此，实际中不常用高阶牛顿-柯特斯公式，为提高计算精度，可考虑对被积函数用分段低次多项式插值，由此导出复合求积公式。

复合梯形公式

1.复合梯形求积公式的根本原理

在实际应用中，假设将积分区间划分成假设干个小区间，在各个小区间上采用低次的求积公式〔梯形公式或抛物形公式〕，然后再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复合求积公式的根本思想。

以梯形面积近似曲边梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图2-1所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算精度高。定积分存在定理说明，只要被积函数连续，当小区间的长度趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，即定积分的准确值。

图2-1复合梯形求积示意图

将积分区间等分，记，在每个小区间上用梯形公式并求和，得

整理得

(2-19)

式(2-19)称为复合梯形公式。

如果，在小区间上，梯形公式的截断误差为

因此

因为在连续，由介值定理，存在，使得

从而有

(2-20)

这就是复合梯形公式的截断误差。

下面简单讨论复合梯形公式的数值稳定性。设计算函数值时产生误差为，那么用式(2-19)计算结果的误差为

因此，无论为多大，复合梯形公式是稳定的。

2.复合梯形求积公式的MATLAB实现

通过的个等步长节点逼近积分：

其中。

functions=trapr1(f,a,b,n)

%f是被积函数;

%a,b分别为积分的上下限;

%n是子区间的个数;

%s是梯形总面积;

h=(b-a)/n;

s=0;

fork=1:(n-1)

x=a+h*k;

s=s+feval(f,x);

end

s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h*s;

【例2-8】利用程序计算积分。

解：先用M文件定义一个名为f.m的函数：

functiony=f(x);

y=1/(1+x^2);

在命令窗口输入：

trapr1(1/(1+x^2),-1,1,10)

回车得到：

ans=

1.5675

。

复合Simpson公式

1.复合Simpson求积公式的根本原理

如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用Simpsom公式计算积分近似值，就导出Simpsom复合公式。

将积分区间分成等分，分点为，在每个小区间上，用Simpsom公式求积分，那么有

求和得

整理后得到

(2-21)

式(2-21)称为复合Simpson公式。

如果，由Simpson插值余项公式可得复化公式的截断误差为

因为为连续，故存在，使得

代入上式得

(2-22〕

式(2-22)说明，步长越小，截断误差越小。与复合梯形公式的分析相类似，可以证明，当时，用复合Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。

2.复合抛物形求积公式的MATLAB实现

functions=simpr1(f,a,b,n)

%f是被积函数;

%a,b分别为积分的上下限;

%n是子区间的个数;

%s是梯形总面积,即所求积分数值;

h=(b-a)/(2*n);

s1=0;

s2=0;

fork=1:n

x=a+h*(2*k-1);

s1=s1+feval(f,x);

end

fork=1:(n-1)

x=a+h*2*k;

s2=s2+feval(f,x);

end

s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;

【例2-9】利用程序计算积分。

解：先用M文件定义一个名为f.m的函数：

functiony=f(x);

y=1/(1+x^2);

在命令窗口输入：

simpr1(f,-1,1,10)

回车得到：

ans=

1.5708

2.5龙贝格算法

复合求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须先给出步长。步长取得太大精度难以保证,步长太小那么又会精度导致计算量的增加，而事先给出一个适宜的步长往往是困难的。

实际计算中常采用变步长的计算方案，即在步长逐次减半的过程中，反复利用复合求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。

1.梯形法的递推法

我们在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。设将积区间分为等分，那么一共有个等分点，，。这里用表示复合梯形法求得的积分值，其下标表示等分数。

先考察一个子段，其中点，在该