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题型01空间几何体的有关计算立体几何
题型02点线面位置关系、空间角及距离
题型03内切球、外接球问题
题型04空间向量
题型01空间几何体的有关计算
(2024·山西晋城·统考一模)若一个正n棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合为{2,3},则n
1
的最小值为,该棱台各棱的长度之和的最小值为.
【答案】642
【分析】根据正n棱台共有3n条棱,从而得到不等式,求出n的最小值为6,得到棱的长度之和最小值.
【详解】因为正n棱台的侧棱有n条,底面有2n条棱,所以正n棱台共有3n条棱,
由3n15,得n5,
所以n的最小值为6,该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42.
故答案为:6,42
(2024·浙江·校联考一模)已知圆台的上下底面半径分别是1,4,且侧面积为10π,则该圆台的母线长
2
为.
【答案】2
【分析】利用圆台侧面积公式求解即可.
1
【详解】设母线长度为l,由圆台侧面积公式得10π=×(2π×1+2π×4)×l,
2
解得l=2,故圆台母线长度为2.
故答案为:2
(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)球O的半径与圆锥M的底面半径相等,且它们的表面积
3
也相等,则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为,球O的体积与圆锥M的体积的比值为.
2π
【答案】/120°2
3
【分析】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R,圆锥M的母线长为l,再根据球与圆锥的表面积公式求
得l=3R,即可得圆锥M的侧面展开图的圆心角大小;根据勾股定理求得h=22R,再结合球与圆锥的体
积公式分析体积比即可
22
【详解】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R,圆锥M的母线长为l,则4πR=πR+πlR,所以l=3R,
2πR2π4πR322
圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为=;球O的体积为,圆锥M的高h=l-R=22R,
l33
1222πR3
圆锥M的体积为⋅πR⋅22R=,所以球O的体积与圆锥M的体积的比值为2.
33
2π
故答案为:,2
3
(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知圆锥的母线长为2,则当圆锥的母线与底面所成的角的余
4
弦值为时,圆锥的体积最大,最大值为.
1
6163
【答案】π
327
r8π2
【分析】由线面角的定义得出cosθ=,从而得出=1-sinθsinθ,再由导数求解即可.
2
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