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河北省邯郸市成安一中2022-2023学年高三下期中联考数学试题理试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现,该金字塔底面周长除以倍的塔高,恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为,假如对胡夫金字塔进行亮化,沿其侧棱和底边布设单条灯带,则需要灯带的总长度约为
A. B.
C. D.
2.已知等差数列的前n项和为,且,,若(,且),则i的取值集合是()
A. B. C. D.
3.已知平面向量满足,且,则所夹的锐角为()
A. B. C. D.0
4.函数在的图像大致为
A. B. C. D.
5.已知为虚数单位,若复数,,则
A. B.
C. D.
6.用数学归纳法证明1+2+3+?+n2=n4
A.k2+1
C.k2+1
7.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:函数的最小值为4.给出下列命题:①;②;③;④,其中真命题的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若、M是线段AB的三等分点,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A. B.4
C. D.5
10.函数的大致图象是
A. B. C. D.
11.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()
A. B. C. D.
12.已知为等比数列,,,则()
A.9 B.-9 C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设为互不相等的正实数,随机变量和的分布列如下表,若记,分别为的方差,则_____.(填,,=)
14.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.
15.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之________.
“我身边的榜样”评选选票
候选人
符号
注:
1.同意画“○”,不同意画“×”.
2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.
甲
乙
丙
16.函数的定义域是.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数f(x)=ex-x2-kx(其中e为自然对数的底,k为常数)有一个极大值点和一个极小值点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)证明:f(x)的极大值不小于1.
18.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;
(2)求证:.
19.(12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.
20.(12分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.
(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
不经常阅读
合计
200
(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附:,其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.(12分)已知,,.
(1)求的最小值;
(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.
22.(10分)已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在
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